三角形$OA_1B_1$において、$OA_1 = 4\sqrt{3}, OB_1 = 8, A_1B_1 = 4$とする。$A_1$から辺$OB_1$に下ろした垂線の足を$B_2$, $B_2$から$OA_1$に下ろした垂線の足を$A_2$とし、同様の操作を繰り返す。$A_nB_n = x_n$, $\triangle OA_nB_n = S_n$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $x_2$の値を求めよ。 (2) $x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ。 (3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形$OA_1B_1$において、$OA_1 = 4\sqrt{3}, OB_1 = 8, A_1B_1 = 4$とする。$A_1$から辺$OB_1$に下ろした垂線の足を$B_2$, $B_2$から$OA_1$に下ろした垂線の足を$A_2$とし、同様の操作を繰り返す。$A_nB_n = x_n$, $\triangle OA_nB_n = S_n$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $x_2$の値を求めよ。

(2) $x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $OA_1B_1$において、$A_1B_1 \perp OB_1$。

$OB_2 = OA_1 \cos{\angle A_1OB_1}$。

$\cos{\angle A_1OB_1} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

よって、$\angle A_1OB_1 = 30^\circ$。

$x_2 = A_2B_2 = OB_2 \sin{\angle A_1OB_1} = OA_1 \cos{\angle A_1OB_1} \sin{\angle A_1OB_1} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 3$

$OB_2 = OA_1 \cos{\angle A_1OB_1} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$

$OB_n = OA_n \frac{\sqrt{3}}{2}$、なので $OA_{n+1} = OB_n \cos{\angle A_1OB_1} = OB_n \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A_{n+1}B_{n+1} = OB_{n+1} \sin{\angle A_1OB_1} = OB_{n+1} \frac{1}{2}$

$A_{n+1}B_{n+1} = OB_{n} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2}$

$OA_n = \frac{OB_n}{\cos{\angle A_1OB_1}} = \frac{OB_n}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = OB_n \frac{2}{\sqrt{3}}$

$A_nB_n = OA_n \sin{\angle A_1OB_1} = OA_n \frac{1}{2} = OB_n \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{1}{2} = OB_n \frac{1}{\sqrt{3}}$

したがって、

$OB_n = \sqrt{3} A_nB_n = \sqrt{3} x_n$

$A_{n+1}B_{n+1} = x_{n+1} = OB_{n} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} = (\sqrt{3} x_n) \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4}x_n$

$OB_n = \frac{2}{\sqrt{3}}OA_n$

$OA_{n+1} = OB_n \cos 30 = OB_n \frac{\sqrt{3}}{2}$

$OA_{n+1} = \frac{2}{\sqrt{3}} OA_{n+1} \frac{\sqrt{3}}{2} OA_n = OA_n$

$\triangle OA_1B_1 = \frac{1}{2} OA_1 \cdot A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$

$S_n = \frac{1}{2} OA_n x_n$

相似比は$\frac{3}{4}$なので

$S_{n+1} = (\frac{3}{4})^2 S_n = \frac{9}{16} S_n$

(1) $\triangle OA_1B_1$と$\triangle OA_2B_2$の相似比は、$OA_1:OA_2$

$OA_2 = OB_2 \cos(\pi / 6) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$x_2 = 3$

(2) $x_{n+1} = \frac{3}{4} x_n$

(3) $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

$S_n$は初項$S_1 = 8\sqrt{3}$、公比$r = \frac{9}{16}$の等比数列。

$\sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{8\sqrt{3}}{1-\frac{9}{16}} = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{7}{16}} = \frac{8\sqrt{3} \cdot 16}{7} = \frac{128\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $x_2 = 3$

(2) $x_{n+1} = \frac{3}{4}x_n$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{128\sqrt{3}}{7}$