三角形ABCにおいて、以下の問いに答える問題です。外接円の半径をR、面積をSとします。 (1) $c = 10$, $C = 135^\circ$のとき、$R$を求めよ。 (2) $a = 4$, $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$のとき、$b$を求めよ。 (3) $a = 8$, $b = 6$, $A = 70^\circ$, $B = 50^\circ$のとき、$S$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の問いに答える問題です。外接円の半径をR、面積をSとします。

(1) $c = 10$, $C = 135^\circ$のとき、$R$を求めよ。

(2) $a = 4$, $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$のとき、$b$を求めよ。

(3) $a = 8$, $b = 6$, $A = 70^\circ$, $B = 50^\circ$のとき、$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{c}{\sin C} = 2R$なので、$R = \frac{c}{2\sin C}$。$c = 10$, $C = 135^\circ$を代入すると、

$R = \frac{10}{2\sin 135^\circ} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$

(2) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$なので、$b = \frac{a \sin B}{\sin A}$。$a = 4$, $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$を代入すると、

$b = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$

(3) $C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$。三角形の面積の公式より、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$なので、$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $5\sqrt{2}$ (選択肢5)

(2) $2\sqrt{6}$ (選択肢4)

(3) $12\sqrt{3}$ (選択肢5)