一辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をDとする。また、辺OC上に点Eをとり、CE = tとする。 (1) ADの長さを求めよ。 (2) cos∠DAEをtを用いて表せ。 (3) △ADEの面積が最小になるときのtの値とそのときの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をDとする。また、辺OC上に点Eをとり、CE = tとする。

(1) ADの長さを求めよ。

(2) cos∠DAEをtを用いて表せ。

(3) △ADEの面積が最小になるときのtの値とそのときの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ADの長さを求める。

三角形ABCにおいて、点Dは辺BCを1:2に内分するので、$\vec{AD} = \frac{2\vec{AB}+\vec{AC}}{3}$となる。よって、

$|\vec{AD}|^2 = \frac{1}{9} (4|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 4\vec{AB}\cdot\vec{AC})$

正四面体なので、$|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=3$で、$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}|\cos{60^{\circ}} = 3\cdot3\cdot\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

したがって、$|\vec{AD}|^2 = \frac{1}{9}(4\cdot9+9+4\cdot\frac{9}{2}) = \frac{1}{9}(36+9+18) = \frac{63}{9} = 7$

よって、$AD = \sqrt{7}$

(2) cos∠DAEをtを用いて表す。

$\vec{AE} = \frac{t}{3}\vec{AC}$であるから、

$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{BC} = \vec{AB} + \frac{1}{3}(\vec{AC}-\vec{AB}) = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

$\vec{AE}\cdot\vec{AD} = |\vec{AE}||\vec{AD}|\cos{\angle DAE}$より、

$\cos{\angle DAE} = \frac{\vec{AE}\cdot\vec{AD}}{|\vec{AE}||\vec{AD}|}$

$\vec{AE}\cdot\vec{AD} = \frac{t}{3}\vec{AC}\cdot(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}) = \frac{t}{3}(\frac{2}{3}\vec{AC}\cdot\vec{AB} + \frac{1}{3}|\vec{AC}|^2) = \frac{t}{3}(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2}+\frac{1}{3}\cdot9) = \frac{t}{3}(3+3) = 2t$

$|\vec{AE}| = t$, $|\vec{AD}| = \sqrt{7}$なので、

$\cos{\angle DAE} = \frac{2t}{t\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

(3) △ADEの面積が最小になるときのtの値とそのときの面積を求める。

$\vec{AE} = \frac{t}{3}\vec{AC}$

$\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

$|\vec{AD}| = \sqrt{7}$, $|\vec{AE}| = t$

$\triangle ADE = \frac{1}{2}|\vec{AD}\times \vec{AE}| = \frac{1}{2}|\vec{AD}||\vec{AE}|\sin{\angle DAE}$

$\triangle ADE = \frac{1}{2} |\vec{AD} \times \vec{AE}| = \frac{1}{2}|\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} \times \frac{t}{3}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\frac{2t}{9}\vec{AB}\times\vec{AC} + \frac{t}{9}\vec{AC}\times\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\frac{2t}{9}\vec{AB}\times\vec{AC}| = \frac{t}{9}|\vec{AB}\times\vec{AC}|$

$|\vec{AB}\times\vec{AC}| = |\vec{AB}||\vec{AC}|\sin{60^{\circ}} = 3\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ADE = \frac{t}{9}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}t$

$0 \le t \le 3$より、$t=0$のとき最小値0をとる。しかし$t=0$のとき点EはOに一致するため、面積が0となるのは妥当である。問題文より、$0 < t \le 3$と考えられる。

したがって、tが最小の時、△ADEの面積も最小となる。t>0より、tが最小となるのはt=0のときであるが、これは範囲外なので、tを正の方向に動かすと面積は増加する。

t=0のとき面積が0になるので、tを大きくするほど面積は増加する。したがって面積は最小値を持たない。tは0に限りなく近づくことができるが、0になることはできない。

問題の意図と違う可能性があるので、cos∠DAEをtを用いて表すところが間違っているかもしれない。

3. 最終的な答え

(1) $AD = \sqrt{7}$

(2) $\cos{\angle DAE} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

(3) tは存在せず、最小面積は存在しない。ただしt→0のとき、面積は0に限りなく近づく。