2つの円が共通接線 $l$ を持ち、点Pが接点である図において、角$\alpha$の大きさを求める問題です。円周角として、$ \angle BAC = 67^\circ $ と $\angle BDP = 53^\circ $ が与えられています。

1. 問題の内容

2つの円が共通接線 $l$ を持ち、点Pが接点である図において、角$\alpha$の大きさを求める問題です。円周角として、$\angle BAC = 67^\circ$ と $\angle BDP = 53^\circ$ が与えられています。

2. 解き方の手順

* 大きい円において、接弦定理より、$\angle BAP = \angle BDP$ が成り立ちます。よって、$\angle BAP = 53^\circ$ です。

* 三角形ABCの内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$ が成り立ちます。

* 小さい円において、接弦定理より、$\angle PCB = \angle BDP$ が成り立ちます。よって、$\angle PCB = 53^\circ$ です。

* $\angle BAC = 67^\circ$ より、$\angle PAC = \angle BAC - \angle BAP = 67^\circ - 53^\circ = 14^\circ$ となります。

* $\angle APC$は$\alpha$と等しいので、$\alpha = \angle APC$ となります。

* 大きい円において、$\angle BDP = 53^\circ$なので、$\angle BCP = 53^\circ$が成り立ちます。

* したがって、$\angle ACB = 53^\circ + \alpha$ が成り立ちます。

* 三角形ABCの内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$ より、$\angle ABC + (53^\circ + \alpha) + 67^\circ = 180^\circ$

* $\angle ABC = 180^\circ - (53^\circ + 67^\circ) - \alpha = 180^\circ - 120^\circ - \alpha = 60^\circ - \alpha$

* $\angle BCP = 53^{\circ}$なので、円周角の定理より、$\angle CAP = 53^{\circ}$ が成り立ちます。

* $\angle CAB = 67^{\circ}$なので、$\angle PAB = \angle CAB - \angle CAP = 67^{\circ} - 53^{\circ} = 14^{\circ}$となります。

* 接弦定理から、$\angle PAB = \angle PDB$なので、$\angle PDB = 14^{\circ}$となります。

* $\angle BDP = 53^{\circ}$なので、$\angle BDA = \angle BDP + \angle PDA = 53^{\circ} + \angle PDA$となります。

* また、$\angle BDA = \angle BCA$が成り立ちます。

* したがって、$\angle APC = \angle ACB - 53^\circ$ が成り立ちます。

* 小さい円について、$\angle ACB = \angle APB = 67^\circ$が成り立ちます。

* $\alpha = 67^\circ - 53^\circ = 14^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 14^\circ$