2つの円 $O$ と $O'$ があり、それぞれの半径は4と3です。円の中心間の距離 $OO'$ は5です。直線 $l$ は2つの円の共通接線であり、接点をそれぞれ $A$ と $B$ とします。線分 $AB$ の長さを求めてください。

1. 問題の内容

2つの円 $O$ と $O'$ があり、それぞれの半径は4と3です。円の中心間の距離 $OO'$ は5です。直線 $l$ は2つの円の共通接線であり、接点をそれぞれ $A$ と $B$ とします。線分 $AB$ の長さを求めてください。

2. 解き方の手順

まず、$O$ から $O'B$ に平行な直線を引き、 $O'B$ との交点を $C$ とします。すると、四角形 $ABCO'$ は長方形になります。

したがって、$AC = O'B = 3$ となります。

また、$OC = AB$ です。

三角形 $OO'C$ は直角三角形であり、 $OO' = 5$、$OC = 4-3 = 1$です。

ピタゴラスの定理を用いて、$O'C$ の長さを求めます。

$OO'^2 = OC^2 + O'C^2$

$5^2 = 1^2 + O'C^2$

$25 = 1 + O'C^2$

$O'C^2 = 24$

$O'C = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

長方形 $ABCO'$ より、$AB = O'C$ なので、$AB = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{6}$