点A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 3), O(0, 0, 0) を頂点とする四面体O-ABCについて、以下の値を求めます。 (1) 体積V (2) 三角形ABCの面積S (3) 原点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足Hまでの距離h

はい、承知いたしました。問題7と8について解答します。

**問題7**

1. 問題の内容

点A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 3), O(0, 0, 0) を頂点とする四面体O-ABCについて、以下の値を求めます。

(1) 体積V

(2) 三角形ABCの面積S

(3) 原点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足Hまでの距離h

2. 解き方の手順

(1) 体積V

四面体O-ABCの体積は、底面を三角形OABとしたときの高さがOCとなるので、

$V = \frac{1}{3} \times (\text{三角形OABの面積}) \times OC$

三角形OABの面積は $\frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$

したがって、

$V = \frac{1}{3} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{9}{2}$

(2) 面積S

三角形ABCの面積を求めるために、ベクトルABとベクトルACを求めます。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-3, 3, 0)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (-3, 0, 3)$

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix}$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 9^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 81 + 9} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$

したがって、

$S = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{11} = \frac{3\sqrt{11}}{2}$

(3) 高さh

四面体O-ABCの体積は、$V = \frac{1}{3} \times (\text{三角形ABCの面積}) \times h$ とも表せるので、

$\frac{9}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{3\sqrt{11}}{2} \times h$

$\frac{9}{2} = \frac{\sqrt{11}}{2} h$

$h = \frac{9}{\sqrt{11}} = \frac{9\sqrt{11}}{11}$

3. 最終的な答え

(1) 体積V = $\frac{9}{2}$

(2) 面積S = $\frac{3\sqrt{11}}{2}$

(3) 高さh = $\frac{9\sqrt{11}}{11}$

**問題8**

1. 問題の内容

大きさが2で、x軸の正の向きとなす角が60度、y軸の正の向きとなす角が45度であるベクトル$\vec{p} = (a, b, c)$を求めます。ただし、$c > 0$とします。

2. 解き方の手順

$\vec{p} = (a, b, c)$とすると、

$|\vec{p}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 2$

$\vec{p}$とx軸のなす角が60度なので、$\cos{60^\circ} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ より、$a = 1$

$\vec{p}$とy軸のなす角が45度なので、$\cos{45^\circ} = \frac{b}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ より、$b = \sqrt{2}$

$a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 + c^2 = 1 + 2 + c^2 = 4$

$c^2 = 1$

$c = \pm 1$

$c > 0$より、$c = 1$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = (1, \sqrt{2}, 1)$