長方形ABCDがあり、BC = 14cmである。点PはAを出発し、秒速2cmで、辺AB、辺BC、辺CD上をDまで動く。点PがAを出発してからx秒後の△APDの面積をy cm²とする。図2は、点PがAを出発してからBにつくまでのxとyの関係を表したグラフである。以下の問いに答える。 (1) 辺ABの長さを求めなさい。 (2) $0 \leq x \leq 4$のとき、$y$を$x$の式で表しなさい。 (3) 点Pが辺BC, 辺CD上を動いてDにつくまでの$x$と$y$の関係を表すグラフを解答用紙にかきなさい。 (4) 点PがBを過ぎてから、$y = 35$になるときの$x$の値を求めなさい。求める過程も書きなさい。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、BC = 14cmである。点PはAを出発し、秒速2cmで、辺AB、辺BC、辺CD上をDまで動く。点PがAを出発してからx秒後の△APDの面積をy cm²とする。図2は、点PがAを出発してからBにつくまでのxとyの関係を表したグラフである。以下の問いに答える。

(1) 辺ABの長さを求めなさい。

(2) $0 \leq x \leq 4$のとき、$y$を$x$の式で表しなさい。

(3) 点Pが辺BC, 辺CD上を動いてDにつくまでの$x$と$y$の関係を表すグラフを解答用紙にかきなさい。

(4) 点PがBを過ぎてから、$y = 35$になるときの$x$の値を求めなさい。求める過程も書きなさい。

2. 解き方の手順

(1) 辺ABの長さを求める。

グラフより、$x=4$のとき、$y=56$である。このとき、点PはBにいる。△APDの面積は、$y = \frac{1}{2} \times AD \times AP = \frac{1}{2} \times 14 \times AB$。また、グラフから$x=4$のとき$y=56$なので、

$\frac{1}{2} \times AD \times AP= 56$。$AD=14$と$AP=2x=2 \times 4=8$を代入する。

$AP=AB$なので

$\frac{1}{2} \times 14 \times AB=56$

$7 \times AB = 56$

$AB = \frac{56}{7} = 8$

(2) $0 \leq x \leq 4$のとき、$y$を$x$の式で表す。

$y = \frac{1}{2} \times AD \times AP = \frac{1}{2} \times 14 \times 2x = 14x$

したがって、$y = 14x$

(3) 点Pが辺BC上にあるとき

$4 \leq x \leq 4 + \frac{14}{2}=11$

△APDの面積は、$y = \frac{1}{2} \times AD \times AB = \frac{1}{2} \times 14 \times 8 = 56$。

点Pが辺CD上にあるとき

$11 \leq x \leq 11 + \frac{8}{2}=15$

$DP=15\times2-2x=30-2x$

$y=\frac{1}{2} \times AD \times DP=\frac{1}{2} \times 14 \times (30-2x)=7(30-2x)=210-14x$

グラフは以下の通り：

$0\leq x \leq 4$のとき、 $y=14x$なので、$(0,0)$, $(4,56)$を結ぶ直線。

$4 < x \leq 11$のとき、 $y=56$なので、水平な直線。

$11 < x \leq 15$のとき、$y=210-14x$なので、$(11,56)$, $(15,0)$を結ぶ直線。

(4) 点PがBを過ぎてから、$y = 35$になるときの$x$の値を求める。

点PがBC上にあるとき、$y=56$なので、$y=35$とはならない。

点PがCD上にあるとき、$y=210-14x=35$となる$x$を求める。

$14x = 210 - 35$

$14x = 175$

$x = \frac{175}{14} = \frac{25}{2} = 12.5$

$11<12.5<15$なので、これは条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) 8 cm

(2) $y = 14x$

(3) グラフは説明を参照

(4) $x = 12.5$