台形ABCDにおいて、AD平行BCであり、ACの中点をEとする。DEとBCの交点をFとする。 (1) △AEDと△CEFが合同であることを証明する。 (2) AD=10cm, BC=18cm, 四角形ABFEの面積が78cm²のとき、線分BFの長さを求め、台形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AD平行BCであり、ACの中点をEとする。DEとBCの交点をFとする。

(1) △AEDと△CEFが合同であることを証明する。

(2) AD=10cm, BC=18cm, 四角形ABFEの面積が78cm²のとき、線分BFの長さを求め、台形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) △AEDと△CEFの合同の証明

* 仮定より、AE = CE

* 対頂角は等しいので、∠AED = ∠CEF

* AD平行BCより、錯角は等しいので、∠DAE = ∠FCE

よって、一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△AED ≡ △CEF

(2) ① 線分BFの長さを求める

* △AED ≡ △CEFより、AD = CF = 10cm

したがって、BC = BF + CFより、18 = BF + 10 なので、BF = 8cm

② 台形ABCDの面積を求める

* 台形ABCDの面積は、台形ABFEの面積と△CEFの面積の和で求められる。

* △AED ≡ △CEFより、△AEDの面積 = △CEFの面積

* 四角形ABFE = △ABE + △BEF

* 台形ABCDの面積 = △AED + △ABE + △BEC + △CDE

= △CEF + △ABE + △BEC + △CDE

= 四角形ABFE + △FEC + △DEC

* 台形ABCDの面積 = △ABC + △ACD

台形ABFEの面積 = 78 $cm^2$

台形ABCDの高さhとすると、

台形ABCDの面積 = $\frac{1}{2} (10 + 18) \times h = 14h$

* 四角形ABFEの面積 = △ABE + △BEF = 78

ここで、AD = CF = 10 より、BC = 18 だから、BF = BC - CF = 18 - 10 = 8

台形ABCDの面積をSとすると、

S = $\frac{1}{2}(AD+BC) \times h = \frac{1}{2}(10+18) \times h = 14h$

四角形ABFEの面積は78なので、

四角形ABFEの面積 = △ABE + △BEF = 78

△AED ≡ △CEFより、△AED = △CEF

台形ABCDの面積 = 四角形ABFE + △AED + △DEC + △BFC - △BEF - △ABE = 四角形ABFE + △AED + △DEC + △BFC - 78

面積比から高さを求めて台形ABCDの面積を計算する。

* △CEFの面積を求める

△AED ≡ △CEFなので、AE=CE。よって、△ABEと△EBCの面積比はAB:BCに等しい。

同様に、△ADEと△DECの面積比はAD:DCに等しい。

* 台形ABFEの面積は四角形ABFEの面積に与えられているので、台形ABCDの面積を直接計算する。

高さをhとすると、台形ABCDの面積 = $\frac{1}{2} (10 + 18) h = 14h$

台形ABFEの面積 = 78 $cm^2$であり、高さh'とすると、

台形ABFEの面積は、$\frac{1}{2} (x+8)h' = 78$ を満たす。

* △ADEと△BCEは相似であり、相似比はAD:BC = 10:18 = 5:9である。

* 高さをhとすると、△ADEの高さ = $\frac{5}{14}h$、△BCEの高さ = $\frac{9}{14}h$。

* △ADEの面積 = $\frac{1}{2} \times 10 \times \frac{5}{14}h = \frac{25}{14}h$

* △BCEの面積 = $\frac{1}{2} \times 18 \times \frac{9}{14}h = \frac{81}{14}h$

* 四角形ABFE = 台形ABCD - △ADE - △CEF

* 台形ABCDの面積 = $\frac{1}{2} (10 + 18)h = 14h$

△ADE = △CEF = $\frac{25}{14}h$ なので、

台形ABCDの面積 = 78 + △ADE + △CEF = 78 + 2 × $\frac{25}{14}h$ = 78 + $\frac{25}{7}h$

ゆえに、$14h = 78 + \frac{25}{7}h$ → $98h - 25h = 7 \times 78$ → $73h = 546$ → $h = \frac{546}{73}$

3. 最終的な答え

(1) △AED ≡ △CEF（証明は上記参照）

(2) ① BF = 8cm

② 台形ABCDの面積 = $\frac{1}{2} (10 + 18)h = 14 \times \frac{546}{73} = \frac{7644}{73} \approx 104.71 cm^2$