座標空間内に4点A, B, C, Dが与えられています。線分ABをs:(1-s)に内分する点をP, 線分CDをt:(1-t)に内分する点をQとします。$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{PQ}$で定まる点Rについて、以下の問いに答えます。 (1) $\overrightarrow{OR}$をs, tを用いて表します。 (2) $0 \leq s \leq 1$, $0 \leq t \leq 1$の範囲でs, tが動くとき、点Rが描く図形Fの面積を求めます。 (3) 図形Fを含む平面に垂直な単位ベクトルを求めます。 (4) 点Rが図形F上を動くとき、線分ORが動いてできる立体の体積を求めます。

1. 問題の内容

座標空間内に4点A, B, C, Dが与えられています。線分ABをs:(1-s)に内分する点をP, 線分CDをt:(1-t)に内分する点をQとします。$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{PQ}$で定まる点Rについて、以下の問いに答えます。

(1) $\overrightarrow{OR}$をs, tを用いて表します。

(2) $0 \leq s \leq 1$, $0 \leq t \leq 1$の範囲でs, tが動くとき、点Rが描く図形Fの面積を求めます。

(3) 図形Fを含む平面に垂直な単位ベクトルを求めます。

(4) 点Rが図形F上を動くとき、線分ORが動いてできる立体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OR}$をs, tを用いて表す

点P, Qの位置ベクトル$\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}$はそれぞれ、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{OD}$

と表せます。

$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$なので、

$\overrightarrow{OR} = (1-t)\overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{OD} - (1-s)\overrightarrow{OA} - s\overrightarrow{OB}$

$= (1-t)\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - (1-s)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} - s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -1+t \\ 2-3t \\ -1+4t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1+s \\ s \\ -1+s \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -2-s+t \\ 2-s-3t \\ 4t-s \end{pmatrix}$

(2) 図形Fの面積を求める

$\overrightarrow{OR} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

と表せます。

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ とすると、

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} (-1)(4) - (-1)(-3) \\ (-1)(1) - (-1)(4) \\ (-1)(-3) - (-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

図形Fは平行四辺形なので、その面積は

$|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = \sqrt{(-7)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 9 + 16} = \sqrt{74}$

(3) 図形Fを含む平面に垂直な単位ベクトルを求める

平面に垂直なベクトルは$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$です。

この単位ベクトルは、

$\pm \frac{1}{\sqrt{74}}\begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

(4) 線分ORが動いてできる立体の体積を求める

$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

四面体OCDを底面とする四角錐から、四面体OABを底面とする四角錐を引いたものとして計算できると思われる。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OR} = \begin{pmatrix} -2-s+t \\ 2-s-3t \\ 4t-s \end{pmatrix}$

(2) $\sqrt{74}$

(3) $\pm \frac{1}{\sqrt{74}}\begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

(4) 計算中