図1のような半径2cm、高さ10cmの円柱と、図2のような母線8cmの円錐がある。円柱の側面積と円錐の側面積が等しいとき、以下の問いに答える。 (1) 図1の円柱を回転体とみなしたとき、回転の軸を含む平面で切った切り口の形状を選択肢から選ぶ。 (2) 図1の円柱の体積を求める。 (3) 図2の円錐の表面積を求める。

1. 問題の内容

図1のような半径2cm、高さ10cmの円柱と、図2のような母線8cmの円錐がある。円柱の側面積と円錐の側面積が等しいとき、以下の問いに答える。

(1) 図1の円柱を回転体とみなしたとき、回転の軸を含む平面で切った切り口の形状を選択肢から選ぶ。

(2) 図1の円柱の体積を求める。

(3) 図2の円錐の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円柱を回転軸を含む平面で切ると、長方形になる。円柱の高さが長方形の縦の長さ、直径が長方形の横の長さとなる。円柱の半径は2cmなので、直径は4cm。よって、縦の長さ10cm、横の長さ4cmの長方形が切り口となる。

(2) 円柱の体積は、$底面積 \times 高さ$ で求められる。底面積は、$半径^2 \times 円周率$ なので、$2^2 \times \pi = 4\pi$ cm$^2$。高さは10cmなので、体積は、$4\pi \times 10 = 40\pi$ cm$^3$。

(3) 円錐の表面積は、$底面積 + 側面積$ で求められる。問題文より、円柱の側面積と円錐の側面積は等しい。円柱の側面積は、$底面の円周 \times 高さ$ で求められ、$2 \times 半径 \times \pi \times 高さ$で求められるので、$2 \times 2 \times \pi \times 10 = 40\pi$ cm$^2$。円錐の底面積は、$半径^2 \times \pi$ で求められる。円錐の底面の半径を$r$とすると、円錐の側面積は$\pi r \times 母線$で求められるので、$\pi \times r \times 8 = 40\pi$。したがって、$r=5$となる。

円錐の底面積は、$5^2 \times \pi = 25\pi$ cm$^2$。したがって、円錐の表面積は、$25\pi + 40\pi = 65\pi$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

(1) ウ

(2) $40\pi$ cm$^3$

(3) $65\pi$ cm$^2$