(1) 与えられた点をx軸方向に-2, y軸方向に3だけ平行移動させた点の座標を求める。 (2) 放物線 $y = x^2 - 4x + 5$ をx軸方向に2, y軸方向に-3だけ平行移動させた放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ の形で表す。 (3) 放物線 $y = 3x^2 - 12x + 13$ を平行移動して、放物線 $y = 3x^2 + 6x + 5$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいか答える。

1. 問題の内容

(1) 与えられた点をx軸方向に-2, y軸方向に3だけ平行移動させた点の座標を求める。

(2) 放物線 $y = x^2 - 4x + 5$ をx軸方向に2, y軸方向に-3だけ平行移動させた放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ の形で表す。

(3) 放物線 $y = 3x^2 - 12x + 13$ を平行移動して、放物線 $y = 3x^2 + 6x + 5$ に重ねるには、どのように平行移動すればよいか答える。

2. 解き方の手順

(1)

* 平行移動後の点の座標は、元の点のx座標に-2を足し、y座標に3を足すことで得られる。

* ① (5, 1) の場合： $(5 - 2, 1 + 3) = (3, 4)$

* ② (4, -3) の場合： $(4 - 2, -3 + 3) = (2, 0)$

* ③ (-2, 5) の場合： $(-2 - 2, 5 + 3) = (-4, 8)$

(2)

* 放物線 $y = x^2 - 4x + 5$ をx軸方向に2, y軸方向に-3だけ平行移動させる。x軸方向にp, y軸方向にqだけ平行移動させるには、$x$ を $x - p$ に、$y$ を $y - q$ に置き換える。

* $y + 3 = (x - 2)^2 - 4(x - 2) + 5$

* $y + 3 = x^2 - 4x + 4 - 4x + 8 + 5$

* $y + 3 = x^2 - 8x + 17$

* $y = x^2 - 8x + 14$

(3)

* それぞれの放物線を平方完成する。

* $y = 3x^2 - 12x + 13 = 3(x^2 - 4x) + 13 = 3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 13 = 3(x - 2)^2 - 12 + 13 = 3(x - 2)^2 + 1$

* $y = 3x^2 + 6x + 5 = 3(x^2 + 2x) + 5 = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 5 = 3(x + 1)^2 - 3 + 5 = 3(x + 1)^2 + 2$

* 頂点の座標を比較する。

* $y = 3(x - 2)^2 + 1$ の頂点は (2, 1)

* $y = 3(x + 1)^2 + 2$ の頂点は (-1, 2)

* (2, 1) を (-1, 2) に移動させる平行移動を考える。

* x軸方向に $-1 - 2 = -3$

* y軸方向に $2 - 1 = 1$

* したがって、x軸方向に-3, y軸方向に1だけ平行移動すればよい。

3. 最終的な答え

(1)

* ① (3, 4)

* ② (2, 0)

* ③ (-4, 8)

(2)

$y = x^2 - 8x + 14$

(3)

x軸方向に-3, y軸方向に1