以下のガウス積分を2重積分を用いて証明する。 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = \sqrt{2\pi}$

1. 問題の内容

以下のガウス積分を2重積分を用いて証明する。

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = \sqrt{2\pi}$

2. 解き方の手順

まず、積分を $I$ とおく。

$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx$

両辺を二乗する。

$I^2 = (\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} dy) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} dxdy$

次に、直交座標 $(x, y)$ から極座標 $(r, \theta)$ に変換する。このとき、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$、$x^2 + y^2 = r^2$、$dxdy = rdrd\theta$ となる。

積分範囲は $x, y$ が $-\infty$ から $\infty$ までなので、$r$ は $0$ から $\infty$ まで、$\theta$ は $0$ から $2\pi$ までとなる。

$I^2 = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2}{2}} rdrd\theta$

ここで、$\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2}{2}} rdr$ を計算する。

$u = \frac{r^2}{2}$ とおくと、$du = rdr$ となる。積分範囲は $r = 0$ のとき $u = 0$、$r = \infty$ のとき $u = \infty$ となる。

$\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2}{2}} rdr = \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = [-e^{-u}]_{0}^{\infty} = -e^{-\infty} - (-e^{-0}) = 0 - (-1) = 1$

したがって、

$I^2 = \int_{0}^{2\pi} 1 d\theta = [\theta]_{0}^{2\pi} = 2\pi - 0 = 2\pi$

$I^2 = 2\pi$ より、$I = \sqrt{2\pi}$ となる。

3. 最終的な答え

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = \sqrt{2\pi}$