関数 $f(x) = x^3 \sin x \cos x$ の微分を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 \sin x \cos x$ の微分を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を簡略化します。

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ なので、

$f(x) = \frac{1}{2} x^3 \sin 2x$

次に、積の微分公式を使います。

$(uv)' = u'v + uv'$

ここで、$u = \frac{1}{2}x^3$、$v = \sin 2x$ とすると、

$u' = \frac{3}{2}x^2$、$v' = 2 \cos 2x$

したがって、

$f'(x) = u'v + uv' = \frac{3}{2}x^2 \sin 2x + \frac{1}{2}x^3 (2 \cos 2x) = \frac{3}{2} x^2 \sin 2x + x^3 \cos 2x$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{3}{2}x^2 \sin 2x + x^3 \cos 2x$