図において、$a$の値を求める問題です。図は四角形ABCDで、三角形ABDと三角形BCDが組み合わさっています。辺ADの長さは$6\sqrt{7}$、辺ABの長さは$3\sqrt{7}$、辺BCの長さは$7\sqrt{3}$、角ADBの大きさは$30^\circ$、角BCDの大きさは$60^\circ$、そして辺BDの長さが$a$で表されています。

1. 問題の内容

図において、$a$の値を求める問題です。図は四角形ABCDで、三角形ABDと三角形BCDが組み合わさっています。辺ADの長さは$6\sqrt{7}$、辺ABの長さは$3\sqrt{7}$、辺BCの長さは$7\sqrt{3}$、角ADBの大きさは$30^\circ$、角BCDの大きさは$60^\circ$、そして辺BDの長さが$a$で表されています。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDに着目します。この三角形において、$\angle ABD = 180^\circ - \angle DAB - \angle ADB$ ですが、$\angle DAB$が不明です。しかし、三角形ABDにおいて、正弦定理を用いることができます。

$\frac{AD}{\sin{\angle ABD}} = \frac{AB}{\sin{\angle ADB}} = \frac{BD}{\sin{\angle DAB}}$

より、$\frac{6\sqrt{7}}{\sin{\angle ABD}} = \frac{3\sqrt{7}}{\sin{30^\circ}}$

これより、 $\sin{\angle ABD} = \frac{6\sqrt{7}\sin{30^\circ}}{3\sqrt{7}} = \frac{6\sqrt{7}\times \frac{1}{2}}{3\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} = 1$

したがって、$\angle ABD = 90^\circ$となります。

次に、三角形ABDにおいて、三平方の定理を用いると、

$AD^2 = AB^2 + BD^2$

$(6\sqrt{7})^2 = (3\sqrt{7})^2 + a^2$

$36 \times 7 = 9 \times 7 + a^2$

$252 = 63 + a^2$

$a^2 = 252 - 63 = 189$

$a = \sqrt{189} = \sqrt{9 \times 21} = 3\sqrt{21}$

次に、三角形BCDに着目します。この三角形は角度$60^\circ$を持つ直角三角形であることが疑われます。

$BD^2 + BC^2 = (3\sqrt{21})^2 + (7\sqrt{3})^2 = 9 \times 21 + 49 \times 3 = 189 + 147 = 336$

もし、三角形BCDが直角三角形であると仮定すると、$CD^2 = BD^2 + BC^2$

角BCDが$60^\circ$で、BDが$3\sqrt{21}$、BCが$7\sqrt{3}$であることから、角CBDは$30^\circ$となる。

すると、$\frac{BD}{\sin{60^\circ}} = \frac{BC}{\sin{90^\circ}}$より、

$BD = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = \frac{\sqrt{3}}{2}7\sqrt{3} = \frac{21}{2}$

$CD = 2BC \times \sin{\angle DBC} = 2BD= \frac{BC}{tan(60)} = \sqrt{3}BC$

しかし、三角形ABDの直角三角形から、$a = 3\sqrt{21}$が出ています。

$\frac{BD}{\sin{\angle BCD}} = \frac{BC}{\sin{\angle BDC}}$

$\frac{3\sqrt{21}}{\sin{60^\circ}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sin{\angle BDC}}$

$\sin{\angle BDC} = \frac{7\sqrt{3}\sin{60^\circ}}{3\sqrt{21}} = \frac{7\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{21}} = \frac{\frac{21}{2}}{3\sqrt{21}} = \frac{21}{6\sqrt{21}} = \frac{7}{2\sqrt{21}}$

3. 最終的な答え

$a = 3\sqrt{21}$