放物線 $y=ax^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっています。点Aの座標は$(-2, 2)$、点Bの$x$座標が4のとき、三角形OABの面積を求めよ、という問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y=ax^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっています。点Aの座標は$(-2, 2)$、点Bの$x$座標が4のとき、三角形OABの面積を求めよ、という問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1：放物線の式を求める。

点A $(-2, 2)$ は放物線 $y = ax^2$ 上にあるので、これを代入すると、

$2 = a(-2)^2$

$2 = 4a$

$a = \frac{1}{2}$

したがって、放物線の式は $y = \frac{1}{2}x^2$ となります。

ステップ2：点Bの座標を求める。

点Bの$x$座標は4なので、$y = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2} \times 16 = 8$

したがって、点Bの座標は $(4, 8)$ となります。

ステップ3：直線 $l$ の式を求める。

直線 $l$ は点A $(-2, 2)$ と点B $(4, 8)$ を通るので、傾きは $\frac{8-2}{4-(-2)} = \frac{6}{6} = 1$ となります。

よって、直線の方程式は $y = x + b$ と表せます。点A $(-2, 2)$ を代入すると、$2 = -2 + b$ より $b = 4$ となります。

したがって、直線 $l$ の式は $y = x + 4$ となります。

ステップ4：三角形OABの面積を求める。

三角形OABの面積は、原点Oから直線ABまでの距離 $h$ と線分ABの長さを使って、$\frac{1}{2} \times AB \times h$ で求めることもできますが、ここでは座標を用いて求める方法で解きます。

座標を使う場合、三角形OABの面積は次の式で求められます。

$\frac{1}{2} |(x_A y_B - x_B y_A)|$

$\frac{1}{2} |(-2 \times 8 - 4 \times 2)| = \frac{1}{2} |(-16 - 8)| = \frac{1}{2} |-24| = \frac{1}{2} \times 24 = 12$

あるいは、直線ABの式が $x - y + 4 = 0$ なので、原点からの距離は $h = \frac{|0 - 0 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ 。

また、線分ABの長さは $\sqrt{(4 - (-2))^2 + (8-2)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ 。

面積は $\frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 12$

3. 最終的な答え

三角形OABの面積は12です。