2点A, Bの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$であるとき、線分ABをm:nに内分する点の位置ベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表す問題です。具体的には、(1) 3:2, (2) 5:3, (3) 3:5のそれぞれの場合について求めます。

1. 問題の内容

2点A, Bの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$であるとき、線分ABをm:nに内分する点の位置ベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表す問題です。具体的には、(1) 3:2, (2) 5:3, (3) 3:5のそれぞれの場合について求めます。

2. 解き方の手順

線分ABをm:nに内分する点の位置ベクトル$\vec{p}$は、公式

$$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$$

を用いて求められます。

(1) 3:2の場合 ($m=3$, $n=2$)

$$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$$

(2) 5:3の場合 ($m=5$, $n=3$)

$$\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 5\vec{b}}{5+3} = \frac{3\vec{a} + 5\vec{b}}{8}$$

(3) 3:5の場合 ($m=3$, $n=5$)

$$\vec{p} = \frac{5\vec{a} + 3\vec{b}}{3+5} = \frac{5\vec{a} + 3\vec{b}}{8}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$

(2) $\frac{3\vec{a} + 5\vec{b}}{8}$

(3) $\frac{5\vec{a} + 3\vec{b}}{8}$