$\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ の3つの数を小さい順に並べなさい。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ の3つの数を小さい順に並べなさい。

2. 解き方の手順

すべての数を同じ指数で表すことを目指します。指数の最小公倍数は $2, 3, 4$ の最小公倍数である $12$ なので、それぞれの数を $12$ 乗根の形で表します。

まず、$\sqrt{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$ を変形します。

$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{6}{12}} = \sqrt[12]{(\frac{1}{2})^6} = \sqrt[12]{\frac{1}{2^6}} = \sqrt[12]{\frac{1}{64}}$

次に、$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}}$ を変形します。

$(\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{4})^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{(\frac{1}{4})^4} = \sqrt[12]{\frac{1}{4^4}} = \sqrt[12]{\frac{1}{256}}$

最後に、$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{4}}$ を変形します。

$(\frac{1}{8})^{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{8})^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{(\frac{1}{8})^3} = \sqrt[12]{\frac{1}{8^3}} = \sqrt[12]{\frac{1}{512}}$

$\sqrt[12]{\frac{1}{64}}$, $\sqrt[12]{\frac{1}{256}}$, $\sqrt[12]{\frac{1}{512}}$ を比較すると、分母が大きいほど値が小さくなります。

したがって、$\frac{1}{512} < \frac{1}{256} < \frac{1}{64}$ なので、$\sqrt[12]{\frac{1}{512}} < \sqrt[12]{\frac{1}{256}} < \sqrt[12]{\frac{1}{64}}$ となります。

3. 最終的な答え

小さい順に、$\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt{\frac{1}{2}}$ です。