$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{9}$, $\sqrt[4]{27}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{9}$, $\sqrt[4]{27}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

それぞれの数を同じ指数を持つ累乗根の形で表し、根号の中身を比較することで大小を判断します。

まず、それぞれの数を3の累乗として表します。

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} = 3^{\frac{3}{4}}$

次に、指数の分母を揃えます。最小公倍数は12なので、それぞれの指数を12分のいくつという形で表します。

$3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{12}}$

$3^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{8}{12}}$

$3^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{9}{12}}$

したがって、

$\sqrt[12]{3^6}$, $\sqrt[12]{3^8}$, $\sqrt[12]{3^9}$

となります。

$3^6 = 729$

$3^8 = 6561$

$3^9 = 19683$

根号の中身を比較すると、

$3^6 < 3^8 < 3^9$

つまり、

$\sqrt[12]{3^6} < \sqrt[12]{3^8} < \sqrt[12]{3^9}$

よって、

$\sqrt{3} < \sqrt[3]{9} < \sqrt[4]{27}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}, \sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{27}$