与えられた数学の問題は、以下の3つのタイプに分けられます。 * **問題25-1, 25-2:** $a\sqrt{b}$ の形の数を $\sqrt{c}$ の形に変換する。 * **問題26-1, 26-2:** $\sqrt{c}$ の形の数を $a\sqrt{b}$ の形に変換する。 * **問題27-1, 27-2:** 分母に根号を含む数の分母を有理化する。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の3つのタイプに分けられます。

* **問題25-1, 25-2:** $a\sqrt{b}$ の形の数を $\sqrt{c}$ の形に変換する。

* **問題26-1, 26-2:** $\sqrt{c}$ の形の数を $a\sqrt{b}$ の形に変換する。

* **問題27-1, 27-2:** 分母に根号を含む数の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

**問題25-1, 25-2: $a\sqrt{b}$ → $\sqrt{c}$**

$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ の公式を利用します。

* (3) $\frac{\sqrt{5}}{3} = \sqrt{\frac{5}{9}}$

* (4) $\frac{\sqrt{2}}{7} = \sqrt{\frac{2}{49}}$

* (3) $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{\frac{3}{4}}$

* (4) $\frac{\sqrt{6}}{5} = \sqrt{\frac{6}{25}}$

**問題26-1, 26-2: $\sqrt{c}$ → $a\sqrt{b}$**

$c$ を素因数分解し、$a^2$ の形を取り出します。$\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ の公式を利用します。

* (3) $\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$

* (4) $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$

* (3) $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{6^2 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$

* (4) $\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{5^2 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$

**問題27-1, 27-2: 分母の有理化**

分母の根号をなくすために、分子と分母に同じ数をかけます。

* (2) $\frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2\sqrt{8}}{8} = \frac{\sqrt{8}}{4} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* (3) $\frac{6\sqrt{80}}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{16 \cdot 5}}{\sqrt{5}} = \frac{6 \cdot 4\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 24$

* (4) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{48}{8}} = \sqrt{6}$

* (2) $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3$

* (3) $\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2 \cdot 3}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{2}$

* (4) $\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

**問題25-1**

* (3) $\sqrt{\frac{5}{9}}$

* (4) $\sqrt{\frac{2}{49}}$

**問題25-2**

* (3) $\sqrt{\frac{3}{4}}$

* (4) $\sqrt{\frac{6}{25}}$

**問題26-1**

* (3) $10\sqrt{3}$

* (4) $7\sqrt{2}$

**問題26-2**

* (3) $6\sqrt{6}$

* (4) $5\sqrt{6}$

**問題27-1**

* (2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

* (3) $24$

* (4) $\sqrt{6}$

**問題27-2**

* (2) $3$

* (3) $6\sqrt{2}$

* (4) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$