(1) 地上から真上に打ち上げられた砲丸の$t$秒後の高さが$(30t - 5t^2)$ mで表されるとき、砲丸が最高点に達するのは何秒後か、またそのときの高さを求める。 (2) 直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形の斜辺の長さを$l$とするとき、$l^2$の最小値と、$l$が最小となるときの直角三角形の3辺の長さを求める。

1. 問題の内容

(1) 地上から真上に打ち上げられた砲丸の$t$秒後の高さが$(30t - 5t^2)$ mで表されるとき、砲丸が最高点に達するのは何秒後か、またそのときの高さを求める。

(2) 直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形の斜辺の長さを$l$とするとき、$l^2$の最小値と、$l$が最小となるときの直角三角形の3辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

砲丸の高さ$y$は$y = 30t - 5t^2$で表される。

この式を平方完成すると、

$y = -5(t^2 - 6t)$

$y = -5(t^2 - 6t + 9 - 9)$

$y = -5((t-3)^2 - 9)$

$y = -5(t-3)^2 + 45$

これは上に凸の放物線を表しており、頂点の座標は$(3, 45)$である。

したがって、砲丸が最高点に達するのは打ち上げてから3秒後であり、その高さは45mである。

(2)

直角を挟む2辺の長さを$x, y$とする。$x + y = 12$より、$y = 12 - x$。

斜辺の長さを$l$とすると、ピタゴラスの定理より$l^2 = x^2 + y^2$である。

$l^2 = x^2 + (12-x)^2$

$l^2 = x^2 + 144 - 24x + x^2$

$l^2 = 2x^2 - 24x + 144$

$l^2 = 2(x^2 - 12x) + 144$

$l^2 = 2(x^2 - 12x + 36 - 36) + 144$

$l^2 = 2((x-6)^2 - 36) + 144$

$l^2 = 2(x-6)^2 - 72 + 144$

$l^2 = 2(x-6)^2 + 72$

$l^2$の最小値は$x = 6$のときであり、その値は72である。

$x = 6$のとき、$y = 12 - 6 = 6$。

$l = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

したがって、直角三角形の3辺の長さは$6, 6, 6\sqrt{2}$である。

3. 最終的な答え

(1) 3秒後, 45 m

(2) 72, 6, 6, $6\sqrt{2}$