円に内接する四角形ABCDがあり、$\angle ABC = 25^\circ$, $\angle BCD = 120^\circ$ である。線分ACと線分BDの交点をEとし、線分FEが点Eを通る直線であるとき、$\theta$（$\angle AFE$）の角度を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、$\angle ABC = 25^\circ$, $\angle BCD = 120^\circ$ である。線分ACと線分BDの交点をEとし、線分FEが点Eを通る直線であるとき、$\theta$（$\angle AFE$）の角度を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円に内接する四角形の性質を利用する。円に内接する四角形では、対角の和が180°になる。

したがって、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$

また、$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

次に、$\angle CAD = \angle CBD$ （円周角の定理より）

$\angle CBD$を求めるために、$\angle ABD = \angle ACD$ (円周角の定理より) を利用する。

$\angle ADB = \angle ACB$ (円周角の定理より)

$\angle BAC = \angle BDC$（円周角の定理より）

$\angle BDC$を求めるために、$\angle BAC = 60^\circ - \angle DAC$

$\angle BAC = \angle BDC$であることから、

$\angle BDC = 25^\circ$である。

したがって、$\angle BAD = 60^\circ$より、

$\angle DAC = 60^\circ - \angle BAC = 60^\circ - 25^\circ = 35^\circ$

円周角の定理より、$\angle DAC = \angle DBC$なので、$\angle DBC = 35^\circ$となる。

よって、$\angle ABE = \angle ABC = 25^\circ$なので、$\angle EBC = \angle DBC = 35^\circ$

$\angle DBC = 35^\circ$なので、$\angle EBC= 35^\circ$

$\angle BEC = 180^\circ - \angle EBC - \angle ECB$

$\angle ACB = \angle ADB$ (円周角の定理より)

$\angle ACB = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAC + \angle CBA)$

四角形ABCDにおいて

$\angle ABC = 25^\circ$

$\angle BCD = 120^\circ$

$\angle CDA = 155^\circ$

$\angle DAB = 60^\circ$

三角形AEBにおいて、

$\angle EAB = 35^\circ$より、

$\angle AEB = 180^\circ - (\angle EAB + \angle ABE) = 180^\circ - (35^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle AFE$は$\angle AEB$の対頂角なので、$\angle AFE = \angle AEB = 120^\circ$

円周角の定理より$\angle CAD = \angle CBD = 35^\circ$. よって，$\angle ABE = 25^\circ$.

三角形 ABE において，内角の和は $180^\circ$ なので，$\angle AEB = 180^\circ - (25^\circ + 35^\circ) = 120^\circ$

$\theta$は$\angle AEB$の対頂角なので、$\theta = \angle AFE = 120^\circ$。

$\angle AFE = 35^\circ$

3. 最終的な答え

34 = 35