(1) 2次方程式 $4x^2 - 11x + 6 = 0$ の解を求めよ。 (2) 2次方程式 $2x^2 - 4x - 9 = 0$ の解を求めよ。 (3) 2次方程式 $x^2 - 8x - 2a = 0$ が実数解を持つときの定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $4x^2 - 11x + 6 = 0$ の解を求めよ。

(2) 2次方程式 $2x^2 - 4x - 9 = 0$ の解を求めよ。

(3) 2次方程式 $x^2 - 8x - 2a = 0$ が実数解を持つときの定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $4x^2 - 11x + 6 = 0$ を解く。因数分解または解の公式を用いる。

因数分解を試みると、$(4x - 3)(x - 2) = 0$となる。よって、$4x - 3 = 0$ または $x - 2 = 0$。

(2)

2次方程式 $2x^2 - 4x - 9 = 0$ を解く。因数分解が難しいため、解の公式を用いる。

解の公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-9)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 72}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{2}$

(3)

2次方程式 $x^2 - 8x - 2a = 0$ が実数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D \geq 0$ であること。

$D = (-8)^2 - 4(1)(-2a) = 64 + 8a \geq 0$

$8a \geq -64$

$a \geq -8$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3}{4}, 2$

(2) $x = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{2}$

(3) $a \geq -8$