数列 $\{a_n\}$ が $1, 3, 8, 16, 27, \dots$ で与えられている。この数列の階差数列を $\{b_n\}$ とするとき、$b_n$ と $a_n$ の一般項を求める問題である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $1, 3, 8, 16, 27, \dots$ で与えられている。この数列の階差数列を $\{b_n\}$ とするとき、$b_n$ と $a_n$ の一般項を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ を求める。

$b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$

$b_2 = a_3 - a_2 = 8 - 3 = 5$

$b_3 = a_4 - a_3 = 16 - 8 = 8$

$b_4 = a_5 - a_4 = 27 - 16 = 11$

したがって、階差数列 $\{b_n\}$ は $2, 5, 8, 11, \dots$ となる。

この数列は初項が $2$、公差が $3$ の等差数列であるから、その一般項は

$b_n = 2 + (n-1) \times 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$

次に、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1) = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 1 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - n + 1 = 2 + \frac{3n^2 - 3n - 2n}{2} = 2 + \frac{3n^2 - 5n}{2} = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$

これは $n=1$ のとき $a_1 = \frac{3 - 5 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、成り立つ。

したがって、$a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n + 2$

3. 最終的な答え

$b_n = 3n - 1$

$a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n + 2$

ケ=3, コ=1, サ=3, シ=2, ス=5, セ=2, ソ=2