1. 問題の内容
平行四辺形ABCDにおいて、であり、三角形DEOの面積が9であるとき、四角形ABCDの面積を求めよ。
2. 解き方の手順
まず、AF : AB = 1 : 3 より、AF : FB = 1 : 2 である。
平行四辺形の性質より、AD // BCであり、したがって、三角形AFEと三角形CBEは相似である。
相似比はAF : CB = AF : AD = 1 : 3となる。
したがって、AE : EC = 1 : 3となる。
次に、三角形DEOと三角形ABOの面積比を考える。
AO : DO = EO : BOであるので、三角形ABOと三角形DEOは相似である。
三角形DEOの面積が9なので、三角形ABOの面積を求める。
AE : EC = 1 : 3より、AO : OC = 1 : 3となり、したがって、AO : AC = 1 : 4となる。
対角線ACは平行四辺形ABCDを二等分するので、三角形ABCの面積は平行四辺形ABCDの面積の半分である。
三角形ABOの高さは、三角形OBCの高さの1/3である。
よって、三角形ABOの面積は三角形OBCの面積の1/3である。
三角形ABCの面積は三角形ABO + 三角形OBCであるので、三角形ABC = 三角形ABO + 3 x 三角形ABO = 4 x 三角形ABOとなる。
したがって、平行四辺形ABCDの面積 = 2 x 三角形ABC = 8 x 三角形ABOとなる。
同様に考えると、三角形DEOと三角形DAOの面積比は、EO/BOである。
EO : BO = AE : BC = 1 : 3なので、三角形DAO = 3 x 三角形DEO = 3 x 9 = 27となる。
したがって、三角形ADO = 27である。また、三角形ABO = 三角形CDOである。
したがって、三角形ABO = 三角形ADO = 27である。
平行四辺形ABCDの面積 = 8 x 三角形ABO = 8 x 9 = 72となる。
平行四辺形ABCDの面積 = 2 x (三角形ABO + 三角形ADO) = 2 x (27 + 27) = 2 x 54 = 108。
AF : AB = 1 : 3 なので、FB : AB = 2 : 3 となる。
三角形ABOの面積は になる。
平行四辺形ABCDの面積は になる。
3. 最終的な答え
72