$x + y + z = 10$ を満たす、負でない整数 $x, y, z$ の組の総数を求める問題です。

1. 問題の内容

$x + y + z = 10$ を満たす、負でない整数 $x, y, z$ の組の総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組み合わせの問題として解くことができます。

$x, y, z$ は負でない整数なので、$x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ です。

$x + y + z = 10$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の数を求めることは、10個の同じもの（例えば球）を3つの異なる箱（$x, y, z$に対応）に入れる方法の数を求めることと同じです。

これは、仕切りの考え方を使って解くことができます。10個の球を並べ、その間に2つの仕切りを入れることで、3つの箱に分けることを考えます。

例えば、「〇〇|〇〇〇|〇〇〇〇〇」は、$x=2, y=3, z=5$ を表します。

仕切りの位置の選び方は、10個の球と2つの仕切りの合計12個の場所から、仕切りの2つを選ぶ方法の数に等しくなります。

したがって、組み合わせの公式を使って、${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で計算します。

この問題では、$n = 10 + 2 = 12$ で、$r = 2$ なので、

${}_{12}C_{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$

3. 最終的な答え

66