与えられた式 $ \frac{3x+1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+1} $ を満たす定数 $a, b, c$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{3x+1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+1}$ を満たす定数 $a, b, c$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+1} = \frac{a(x^2+1) + (bx+c)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}$

分子を展開して整理します。

$a(x^2+1) + (bx+c)(x-1) = ax^2 + a + bx^2 - bx + cx - c = (a+b)x^2 + (-b+c)x + (a-c)$

したがって、

$\frac{3x+1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{(a+b)x^2 + (-b+c)x + (a-c)}{(x-1)(x^2+1)}$

両辺の分子を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$a+b = 0$

$-b+c = 3$

$a-c = 1$

これらの式を解きます。

$a = -b$ を $a-c = 1$ に代入すると、 $-b - c = 1$ となります。

$-b+c = 3$ と $-b-c = 1$ の2式を足すと、 $-2b = 4$ より $b = -2$ 。

$a = -b$ なので、$a = 2$ 。

$a - c = 1$ より $2 - c = 1$ なので、$c = 1$ 。

したがって、$a=2, b=-2, c=1$。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -2$

$c = 1$