30以下の自然数において、4の倍数の集合をA、6の倍数の集合をBとするとき、以下の集合の要素の個数を求める問題です。 (1) $n(B)$ (2) $n(A \cap B)$ (3) $n(A \cup B)$ (4) $n(\overline{A} \cap B)$

1. 問題の内容

30以下の自然数において、4の倍数の集合をA、6の倍数の集合をBとするとき、以下の集合の要素の個数を求める問題です。

(1) $n(B)$

(2) $n(A \cap B)$

(3) $n(A \cup B)$

(4) $n(\overline{A} \cap B)$

2. 解き方の手順

(1) $n(B)$: 30以下の6の倍数の個数を求めます。

$30 \div 6 = 5$なので、6の倍数は6, 12, 18, 24, 30の5個です。

(2) $n(A \cap B)$: 4の倍数かつ6の倍数、つまり12の倍数の個数を求めます。

$30 \div 12 = 2.5$なので、12の倍数は12, 24の2個です。

(3) $n(A \cup B)$: 和集合の要素の個数は、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$で求められます。

$n(A)$は30以下の4の倍数の個数なので、$30 \div 4 = 7.5$より7個です。

$n(B)$は(1)で求めたように5個です。

$n(A \cap B)$は(2)で求めたように2個です。

したがって、$n(A \cup B) = 7 + 5 - 2 = 10$です。

(4) $n(\overline{A} \cap B)$: Aの補集合とBの共通部分の要素の個数を求めます。これは、「Bの要素のうち、Aに含まれない要素の個数」と言い換えられます。

つまり、「6の倍数だが、4の倍数ではない数」の個数です。

6の倍数は6, 12, 18, 24, 30です。このうち4の倍数であるのは12, 24です。

したがって、求める個数は5 - 2 = 3です。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 2

(3) 10

(4) 3