与えられた数式 $\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{75} + 2\sqrt{27})$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{75} + 2\sqrt{27})$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中身を素因数分解し、根号の外に出せるものを出します。

$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

これらを元の式に代入します。

$\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 2(3\sqrt{3}))$

$\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 6\sqrt{3})$

根号の中身をまとめます。

$\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 6\sqrt{3}) = \sqrt{3}(3\sqrt{3})$

最後に、$\sqrt{3}$ を分配します。

$\sqrt{3}(3\sqrt{3}) = 3(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 3 \cdot 3 = 9$

3. 最終的な答え

9