次の条件を満たす整数 $(x, y, z, w)$ の組の個数を求めます。 (1) $x + y + z + w = 7, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, w \geq 0$ (2) $x + y + z + w = 7, x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1, w \geq 1$ (3) $x + y + z + w \leq 7, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, w \geq 0$

1. 問題の内容

次の条件を満たす整数 $(x, y, z, w)$ の組の個数を求めます。

(1) $x + y + z + w = 7, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, w \geq 0$

(2) $x + y + z + w = 7, x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1, w \geq 1$

(3) $x + y + z + w \leq 7, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, w \geq 0$

2. 解き方の手順

(1)

$x, y, z, w$ は非負整数なので、これは重複組合せの問題です。

4種類のものを合わせて7個選ぶ方法の数を求めます。

これは、7個の丸と3個の仕切りを並べる方法の数と等しく、

${}_{7+4-1}C_{4-1} = {}_{10}C_3$ で計算できます。

${}_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(2)

$x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1, w \geq 1$ なので、$x' = x-1, y' = y-1, z' = z-1, w' = w-1$ とおくと、$x', y', z', w' \geq 0$ となります。

$x + y + z + w = 7$ に代入すると、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) + (w' + 1) = 7$

$x' + y' + z' + w' = 7 - 4 = 3$

$x', y', z', w'$ は非負整数なので、これは重複組合せの問題です。

${}_{3+4-1}C_{4-1} = {}_{6}C_3$ で計算できます。

${}_{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20$

(3)

$x + y + z + w \leq 7$ なので、$s$ を非負整数として、$x + y + z + w + s = 7$ とします。ここで、$x, y, z, w, s \geq 0$ です。

これは重複組合せの問題で、5種類のものを合わせて7個選ぶ方法の数を求めます。

${}_{7+5-1}C_{5-1} = {}_{11}C_4$ で計算できます。

${}_{11}C_4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 10 \times 3 = 330$

3. 最終的な答え

(1) 120

(2) 20

(3) 330