全体集合$U$を15以下の自然数の集合とし、3の倍数の集合を$A$、4の倍数の集合を$B$とします。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A}$ (4) $\overline{B}$ をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

全体集合$U$を15以下の自然数の集合とし、3の倍数の集合を$A$、4の倍数の集合を$B$とします。

(1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A}$ (4) $\overline{B}$

をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、集合$U$, $A$, $B$を要素を書き並べて表します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$

$A = \{3, 6, 9, 12, 15\}$

$B = \{4, 8, 12\}$

(1) $A \cap B$ は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap B = \{12\}$

(2) $A \cup B$ は、$A$または$B$に含まれる要素の集合です。

$A \cup B = \{3, 4, 6, 8, 9, 12, 15\}$

(3) $\overline{A}$ は、$U$の中で$A$に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14\}$

(4) $\overline{B}$ は、$U$の中で$B$に含まれない要素の集合です。

$\overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{12\}$

(2) $A \cup B = \{3, 4, 6, 8, 9, 12, 15\}$

(3) $\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14\}$

(4) $\overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15\}$