(1) $x + y + z = 8$ を満たす非負整数 $(x, y, z)$ の組の個数を求める。 (2) $x + y + z = 8$ を満たす自然数 $(x, y, z)$ の組の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) $x + y + z = 8$ を満たす非負整数 $(x, y, z)$ の組の個数を求める。

(2) $x + y + z = 8$ を満たす自然数 $(x, y, z)$ の組の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x, y, z$ は非負整数なので、重複組み合わせの問題として考えることができる。

$n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ重複組み合わせの総数は ${}_{n+r-1}C_r$ で与えられる。

今回は、$x + y + z = 8$ を満たす非負整数 $x, y, z$ の組の個数を求めるので、$n = 3$, $r = 8$ として考える。

よって、求める個数は ${}_{3+8-1}C_8 = {}_{10}C_8 = {}_{10}C_2$ である。

${}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45$

(2) $x, y, z$ は自然数なので、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ である。

そこで、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z'$ は非負整数となる。

$x + y + z = 8$ に代入すると、$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 8$ となり、$x' + y' + z' = 8 - 3 = 5$ となる。

$x' + y' + z' = 5$ を満たす非負整数 $x', y', z'$ の組の個数を求めればよい。

これは重複組み合わせの問題であり、$n = 3$, $r = 5$ として考える。

よって、求める個数は ${}_{3+5-1}C_5 = {}_{7}C_5 = {}_{7}C_2$ である。

${}_{7}C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21$

3. 最終的な答え

(1) 45 個

(2) 21 個