整数4800について、以下の3つの問いに答える問題です。 (1) 正の約数の個数を求める。 (2) 正の約数の総和を求める。 (3) 正の約数で5の倍数であるものの総和を求める。

1. 問題の内容

整数4800について、以下の3つの問いに答える問題です。

(1) 正の約数の個数を求める。

(2) 正の約数の総和を求める。

(3) 正の約数で5の倍数であるものの総和を求める。

2. 解き方の手順

まず、4800を素因数分解します。

$4800 = 48 \times 100 = (16 \times 3) \times (4 \times 25) = 2^4 \times 3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^6 \times 3^1 \times 5^2$

(1) 正の約数の個数

約数の個数は、素因数分解した指数のそれぞれに1を足して掛け合わせたものです。

$(6+1) \times (1+1) \times (2+1) = 7 \times 2 \times 3 = 42$

したがって、正の約数の個数は42個です。

(2) 正の約数の総和

正の約数の総和は、以下の式で求められます。

$(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6) \times (1 + 3) \times (1 + 5 + 5^2)$

$= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) \times 4 \times (1 + 5 + 25)$

$= (127) \times 4 \times (31) = 127 \times 124 = 15748$

したがって、正の約数の総和は15748です。

(3) 正の約数で5の倍数であるものの総和

4800の約数の中で5の倍数であるものの総和を求めるには、全体の総和から5の倍数ではないものの総和を引くのではなく、直接計算する方が楽です。

$4800 = 2^6 \times 3^1 \times 5^2$

5の倍数であるためには、少なくとも$5^1$が必要なので、

$(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6) \times (1 + 3) \times (5 + 5^2)$

$= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) \times 4 \times (5 + 25)$

$= (127) \times 4 \times (30) = 127 \times 120 = 15240$

したがって、正の約数で5の倍数であるものの総和は15240です。

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 2

(3) 4