与えられた4つの式をそれぞれ計算します。 (1) $\sqrt{45} + \sqrt{20}$ (2) $4\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{27}$ (3) $2\sqrt{3} + \sqrt{8} - \sqrt{27} - \sqrt{32}$ (4) $4\sqrt{2} - 2\sqrt{12} - \sqrt{18} + \sqrt{27}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ計算します。

(1) $\sqrt{45} + \sqrt{20}$

(2) $4\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{27}$

(3) $2\sqrt{3} + \sqrt{8} - \sqrt{27} - \sqrt{32}$

(4) $4\sqrt{2} - 2\sqrt{12} - \sqrt{18} + \sqrt{27}$

2. 解き方の手順

それぞれの式について、以下の手順で計算します。

(1) 根号の中の数を素因数分解し、$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$ を利用して根号の外に出せるものは出す。

(2) 根号の中の数が同じ項をまとめ、計算する。

(1) $\sqrt{45} + \sqrt{20}$

$\sqrt{45} = \sqrt{3^2 \times 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{20} = \sqrt{2^2 \times 5} = 2\sqrt{5}$

よって、$\sqrt{45} + \sqrt{20} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

(2) $4\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{27}$

$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{3^2 \times 3} = 3\sqrt{3}$

よって、$4\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{27} = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (4 - 2 + 3)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

(3) $2\sqrt{3} + \sqrt{8} - \sqrt{27} - \sqrt{32}$

$\sqrt{8} = \sqrt{2^2 \times 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{27} = \sqrt{3^2 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{32} = \sqrt{4^2 \times 2} = 4\sqrt{2}$

よって、$2\sqrt{3} + \sqrt{8} - \sqrt{27} - \sqrt{32} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3} - 4\sqrt{2} = (2 - 3)\sqrt{3} + (2 - 4)\sqrt{2} = -\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$

(4) $4\sqrt{2} - 2\sqrt{12} - \sqrt{18} + \sqrt{27}$

$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{18} = \sqrt{3^2 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{27} = \sqrt{3^2 \times 3} = 3\sqrt{3}$

よって、$4\sqrt{2} - 2\sqrt{12} - \sqrt{18} + \sqrt{27} = 4\sqrt{2} - 2(2\sqrt{3}) - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = (4 - 3)\sqrt{2} + (-4 + 3)\sqrt{3} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $5\sqrt{5}$

(2) $5\sqrt{3}$

(3) $-\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$

(4) $\sqrt{2} - \sqrt{3}$