(1) $\sqrt{\frac{28n}{5}}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ を求める問題。 (2) $\sqrt{\frac{360}{x}}$ が奇数となるような整数 $x$ を全て求める問題。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{\frac{28n}{5}}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ を求める問題。

(2) $\sqrt{\frac{360}{x}}$ が奇数となるような整数 $x$ を全て求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{\frac{28n}{5}}$ が整数になるためには、$\frac{28n}{5}$ がある整数の2乗になる必要があります。

まず、28を素因数分解すると $28 = 2^2 \times 7$ となります。

したがって、$\frac{28n}{5} = \frac{2^2 \times 7 \times n}{5}$ となります。

この分数が整数の2乗になるためには、分母の5を消す必要があり、分子の7をもう一つ掛ける必要があります。

したがって、$n$ は $5 \times 7 = 35$ の倍数である必要があります。

$n$ は最小の自然数なので、$n=35$ が答えとなります。

このとき、$\sqrt{\frac{28 \times 35}{5}} = \sqrt{\frac{2^2 \times 7 \times 5 \times 7}{5}} = \sqrt{2^2 \times 7^2} = 2 \times 7 = 14$ となり、整数になります。

(2) $\sqrt{\frac{360}{x}}$ が奇数となるためには、$\frac{360}{x}$ が奇数の2乗になる必要があります。

360を素因数分解すると、$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ となります。

したがって、$\sqrt{\frac{360}{x}} = \sqrt{\frac{2^3 \times 3^2 \times 5}{x}}$ となります。

この値が奇数になるためには、$\frac{360}{x}$ が奇数の2乗となる必要があります。

奇数の2乗は $1, 9, 25, 49,...$ などです。

ここで、$x$ が整数である必要があります。

$\frac{360}{x} = 1$ のとき、$x = 360$。

$\frac{360}{x} = 9$ のとき、$x = \frac{360}{9} = 40$。

$\frac{360}{x} = 25$ のとき、$x = \frac{360}{25} = \frac{72}{5}$ となり、整数にならない。

したがって、$\sqrt{\frac{360}{x}}$ が奇数となるのは、$\frac{360}{x} = 1$ または $\frac{360}{x} = 9$ のとき。

このとき、$x = 360$ または $x = 40$。

$x = 360$ のとき、$\sqrt{\frac{360}{360}} = \sqrt{1} = 1$ で、奇数になる。

$x = 40$ のとき、$\sqrt{\frac{360}{40}} = \sqrt{9} = 3$ で、奇数になる。

3. 最終的な答え

(1) 35

(2) 40, 360