与えられた数の平方根の中身をできるだけ小さくし、$a\sqrt{b}$ の形に変形する問題です。具体的には、(1) $5\sqrt{27}$、(2) $3\sqrt{40}$、(3) $2\sqrt{18}$、(4) $2\sqrt{12}$、(5) $9\sqrt{8}$、(6) $4\sqrt{72}$、(7) $3\sqrt{75}$、(8) $5\sqrt{180}$、(9) $6\sqrt{98}$ のそれぞれを $a\sqrt{b}$ の形に変換します。

1. 問題の内容

与えられた数の平方根の中身をできるだけ小さくし、$a\sqrt{b}$ の形に変形する問題です。具体的には、(1) $5\sqrt{27}$、(2) $3\sqrt{40}$、(3) $2\sqrt{18}$、(4) $2\sqrt{12}$、(5) $9\sqrt{8}$、(6) $4\sqrt{72}$、(7) $3\sqrt{75}$、(8) $5\sqrt{180}$、(9) $6\sqrt{98}$ のそれぞれを $a\sqrt{b}$ の形に変換します。

2. 解き方の手順

各平方根の中身を素因数分解し、平方数を見つけます。平方数の平方根を根号の外に出し、$a\sqrt{b}$ の形にします。

(1) $5\sqrt{27} = 5\sqrt{3^2 \cdot 3} = 5 \cdot 3\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$

(2) $3\sqrt{40} = 3\sqrt{2^3 \cdot 5} = 3\sqrt{2^2 \cdot 2 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{10} = 6\sqrt{10}$

(3) $2\sqrt{18} = 2\sqrt{2 \cdot 3^2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

(4) $2\sqrt{12} = 2\sqrt{2^2 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

(5) $9\sqrt{8} = 9\sqrt{2^3} = 9\sqrt{2^2 \cdot 2} = 9 \cdot 2\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$

(6) $4\sqrt{72} = 4\sqrt{2^3 \cdot 3^2} = 4\sqrt{2^2 \cdot 2 \cdot 3^2} = 4 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$

(7) $3\sqrt{75} = 3\sqrt{3 \cdot 5^2} = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$

(8) $5\sqrt{180} = 5\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5} = 5 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{5} = 30\sqrt{5}$

(9) $6\sqrt{98} = 6\sqrt{2 \cdot 7^2} = 6 \cdot 7\sqrt{2} = 42\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $15\sqrt{3}$

(2) $6\sqrt{10}$

(3) $6\sqrt{2}$

(4) $4\sqrt{3}$

(5) $18\sqrt{2}$

(6) $24\sqrt{2}$

(7) $15\sqrt{3}$

(8) $30\sqrt{5}$

(9) $42\sqrt{2}$