異なる5冊の本A, B, C, D, Eを本棚に1列に並べる。 (1) 本の並べ方は何通りあるか。 (2) Aが左から2番目で、B, CがともにAより右側にある並べ方は何通りあるか。 (3) B, CがともにAより右側にある並べ方は何通りあるか。

## 問題10

1. 問題の内容

異なる5冊の本A, B, C, D, Eを本棚に1列に並べる。

(1) 本の並べ方は何通りあるか。

(2) Aが左から2番目で、B, CがともにAより右側にある並べ方は何通りあるか。

(3) B, CがともにAより右側にある並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 5冊の本を並べる順列の問題なので、$5!$を計算します。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2) Aの位置が固定されているので、残りの4つの場所をB, C, D, Eで埋めることを考えます。

まず、Aを2番目に固定します。

_ A _ _ _

B, CはAより右側にある必要があるので、B, Cの位置関係は、

A _ B _ C

A _ C _ B

A _ _ B C

A _ _ C B

A _ B _ _ C

A _ C _ _ B

A _ _ _ B C

A _ _ _ C B

の10通りがあります。

B,CがAの右側にある並べ方は ${}_3P_2=3\times2 = 6$通りあります。残りの2冊の並べ方は$2!=2$通りなので、$6\times2=12$通りあります。

したがって、12通り。

別解：

Aを2番目に固定し、残りの4つの位置にB, C, D, Eを並べます。

B, Cの位置の組み合わせを考えます。B, Cの位置の組み合わせは ${}_3C_2 = 3$通りあります。B, Cの並び方は2通りあるので、B, Cの位置と並び方は $3 \times 2 = 6$通りあります。

残りのD, Eの並び方は $2! = 2$通りなので、合計 $6 \times 2 = 12$通りとなります。

(3) A, B, Cの位置関係のみを考えます。A, B, Cの並び方は6通りですが、B, CがともにAより右側にあるのは、A B C, A C B の2通りだけです。

5冊の本の並び方は $5! = 120$通りです。A, B, Cの並び方が6通りある中で、条件を満たす並び方は2通りなので、$120 \times \frac{2}{6} = 120 \times \frac{1}{3} = 40$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 12通り

(3) 40通り