与えられた数列 $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, \dots$ について、以下の問いに答えます。 (1) 第$n$群($n$が$n$個並んだ部分)の数字の総和を求めます。 (2) 第100項目がどんな数字かを求めます。 (3) 初項から第100項までの和を求めます。

算数数列総和項数
2025/8/3

1. 問題の内容

与えられた数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, \dots について、以下の問いに答えます。
(1) 第nn群(nnnn個並んだ部分)の数字の総和を求めます。
(2) 第100項目がどんな数字かを求めます。
(3) 初項から第100項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 第nn群はnnnn個並んでいるので、その総和は n×n=n2n \times n = n^2 となります。
(2) 第nn群までの項数の合計をSnS_nとすると、
Sn=1+2+3++n=n(n+1)2S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}
となります。
SnS_nが100に最も近いnnを見つけることを考えます。
n(n+1)200n(n+1) \approx 200 なので、 n20014.14n \approx \sqrt{200} \approx 14.14 と予想できます。
S13=13×142=13×7=91S_{13} = \frac{13 \times 14}{2} = 13 \times 7 = 91
S14=14×152=7×15=105S_{14} = \frac{14 \times 15}{2} = 7 \times 15 = 105
したがって、第100項目は第14群に含まれます。
第13群までの項数は91なので、第100項目は第14群の 10091=9100 - 91 = 9 番目の数です。
よって、第100項目は14です。
(3) 初項から第100項までの和を求めます。
第13群までの和は、各群の和の合計なので、
k=113k2=13(13+1)(2×13+1)6=13×14×276=13×7×9=819\sum_{k=1}^{13} k^2 = \frac{13(13+1)(2 \times 13 + 1)}{6} = \frac{13 \times 14 \times 27}{6} = 13 \times 7 \times 9 = 819
第14群には14が10091=9100-91 = 9個並んでいるので、その和は14×9=12614 \times 9 = 126
したがって、初項から第100項までの和は 819+126=945819 + 126 = 945 となります。

3. 最終的な答え

(1) 第nn群の数字の総和: n2n^2
(2) 第100項目: 14
(3) 初項から第100項までの和: 945

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