与えられた数列の一般項を、選択肢の中から選ぶ問題です。具体的には以下の4つの数列について、対応する一般項を求めます。 (1) 1, 4, 8, 13, 19, 26, ... (2) 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, ... (3) 4, 5, 7, 11, 19, 35, ... (4) 10, 9, 12, 3, 30, -51, ...

1. 問題の内容

与えられた数列の一般項を、選択肢の中から選ぶ問題です。具体的には以下の4つの数列について、対応する一般項を求めます。

(1) 1, 4, 8, 13, 19, 26, ...

(2) 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, ...

(3) 4, 5, 7, 11, 19, 35, ...

(4) 10, 9, 12, 3, 30, -51, ...

2. 解き方の手順

(1) の数列: 1, 4, 8, 13, 19, 26, ...

階差数列を求めると、3, 4, 5, 6, 7, ... となります。

これは初項3、公差1の等差数列なので、階差数列の一般項は $b_n = n+2$ です。

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+2) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 2 = 1 + \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1)$

$a_n = 1 + \frac{n^2-n}{2} + 2n - 2 = \frac{n^2 - n + 4n - 2 + 2}{2} = \frac{n^2 + 3n}{2} = \frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n$

$a_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n + 0$

選択肢を見ると、

① $a_n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 1$

② $a_n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{3}{2}n - 1$

③ $a_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n + 1$

④ $a_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n - 1$

⑤ $a_n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 1$

③または④が考えられますが、n=1のとき1にならなければならないので、$a_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n$ に1を足して調整すると$a_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n$ より、$a_1 = 2$ となるので、候補はありません。

もう一度見直すと、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+2)$

$=1 + \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1)$

$= 1 + \frac{n^2-n}{2} + 2n-2 = \frac{2 + n^2 -n + 4n -4}{2} = \frac{n^2 + 3n -2}{2}$

$a_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n - 1$

これは選択肢④と一致します。

(2) の数列: 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, ...

階差数列は 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

これは初項1、公差1の等差数列なので、階差数列の一般項は $b_n = n$ です。

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 + \frac{(n-1)n}{2} = 2 + \frac{n^2-n}{2} = \frac{4 + n^2 - n}{2}$

$a_n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n + 2$

これは選択肢②と一致します。

(3) の数列: 4, 5, 7, 11, 19, 35, ...

階差数列は 1, 2, 4, 8, 16, ...

これは初項1、公比2の等比数列なので、階差数列の一般項は $b_n = 2^{n-1}$ です。

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 4 + \sum_{k=0}^{n-2} 2^{k} = 4 + \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 4 + 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} + 3$

これは選択肢②と一致します。

(4) の数列: 10, 9, 12, 3, 30, -51, ...

階差数列は -1, 3, -9, 27, -81, ...

これは初項-1、公比-3の等比数列なので、階差数列の一般項は $b_n = (-1)(-3)^{n-1} = -(-3)^{n-1}$ です。

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 10 + \sum_{k=1}^{n-1} -(-3)^{k-1} = 10 - \sum_{k=0}^{n-2} (-3)^{k} = 10 - \frac{1((-3)^{n-1} - 1)}{-3 - 1} = 10 + \frac{(-3)^{n-1} - 1}{4}$

$a_n = \frac{40 + (-3)^{n-1} - 1}{4} = \frac{39 + (-3)^{n-1}}{4}$

これは選択肢⑤と一致します。

3. 最終的な答え

(1) ④

(2) ②

(3) ②

(4) ⑤