以下の問題について、それぞれ解答を求める。 (4) (1) $y$ は $x$ に比例し、点 $(5, -45)$ を通る。$x$ と $y$ の関係式と、$x$ の変域が $-3 \le x \le 6$ のときの $y$ の変域を求める。 (4) (2) $y$ は $x$ に反比例し、点 $(8, 9)$ を通る。$x$ と $y$ の関係式と、$x = -6$ のときの $y$ の値を求める。 (5) 直線 $l$ は $y = \frac{1}{2}x$ のグラフ、双曲線 $m$ は $y = \frac{8}{x}$ のグラフである。点 $A$ は直線 $l$ と双曲線 $m$ の交点の1つで、$x$ 座標は 4 である。点 $B$ は双曲線 $m$ 上の点で、$y$ 座標は -8 である。3点 $O, A, B$ を頂点とする $\triangle AOB$ の面積を求める。 (6) (1) $AB=12$ cm, $AD=16$ cm の長方形 $ABCD$ がある。点 $P$ は辺 $BC$ 上を秒速 1 cm で頂点 $B$ から頂点 $C$ まで動く。点 $P$ が頂点 $B$ を出発してから $x$ 秒後の $\triangle BPD$ の面積を $y$ cm$^2$ とします。点 $P$ が頂点 $B$ を出発してから 6 秒後の $\triangle BPD$ の面積を求め、$x$ と $y$ の関係式とその変域を求め、$\triangle BPD$ の面積が $92$ cm$^2$ となるのは、点 $P$ が頂点 $B$ を出発してから何秒後か。 (6) (2) 公園の周りにある1周2100mのウォーキングコースを、一定の速さで歩いて1周したとき、分速 $x$ m で歩いて1周したときにかかる時間を $y$ 分とします。$x$ と $y$ の関係式を求め、ウォーキングコースを30分間で1周したときの歩いた速さを分速と時速で求める。

## 解答

1. 問題の内容

以下の問題について、それぞれ解答を求める。

(4) (1) $y$ は $x$ に比例し、点 $(5, -45)$ を通る。$x$ と $y$ の関係式と、$x$ の変域が $-3 \le x \le 6$ のときの $y$ の変域を求める。

(4) (2) $y$ は $x$ に反比例し、点 $(8, 9)$ を通る。$x$ と $y$ の関係式と、$x = -6$ のときの $y$ の値を求める。

(5) 直線 $l$ は $y = \frac{1}{2}x$ のグラフ、双曲線 $m$ は $y = \frac{8}{x}$ のグラフである。点 $A$ は直線 $l$ と双曲線 $m$ の交点の1つで、$x$ 座標は 4 である。点 $B$ は双曲線 $m$ 上の点で、$y$ 座標は -8 である。3点 $O, A, B$ を頂点とする $\triangle AOB$ の面積を求める。

(6) (1) $AB=12$ cm, $AD=16$ cm の長方形 $ABCD$ がある。点 $P$ は辺 $BC$ 上を秒速 1 cm で頂点 $B$ から頂点 $C$ まで動く。点 $P$ が頂点 $B$ を出発してから $x$ 秒後の $\triangle BPD$ の面積を $y$ cm$^2$ とします。点 $P$ が頂点 $B$ を出発してから 6 秒後の $\triangle BPD$ の面積を求め、$x$ と $y$ の関係式とその変域を求め、$\triangle BPD$ の面積が $92$ cm$^2$ となるのは、点 $P$ が頂点 $B$ を出発してから何秒後か。

(6) (2) 公園の周りにある1周2100mのウォーキングコースを、一定の速さで歩いて1周したとき、分速 $x$ m で歩いて1周したときにかかる時間を $y$ 分とします。$x$ と $y$ の関係式を求め、ウォーキングコースを30分間で1周したときの歩いた速さを分速と時速で求める。

2. 解き方の手順

(4) (1)

* 比例の関係式は $y = ax$ と表せる。点 $(5, -45)$ を通るので、$-45 = a \times 5$。よって、$a = -9$。

* $y = -9x$

* $x$ の変域が $-3 \le x \le 6$ なので、$y$ の変域は $y = -9x$ より、$x = -3$ のとき $y = 27$、$x = 6$ のとき $y = -54$。したがって、$-54 \le y \le 27$。

(4) (2)

* 反比例の関係式は $y = \frac{a}{x}$ と表せる。点 $(8, 9)$ を通るので、$9 = \frac{a}{8}$。よって、$a = 72$。

* $y = \frac{72}{x}$

* $x = -6$ のとき、$y = \frac{72}{-6} = -12$。

(5)

* 点 $A$ の $x$ 座標は 4 なので、$y = \frac{1}{2} \times 4 = 2$。したがって、点 $A$ の座標は $(4, 2)$。

* 点 $B$ は双曲線 $y = \frac{8}{x}$ 上の点で、$y$ 座標は -8 なので、$-8 = \frac{8}{x}$。よって、$x = -1$。したがって、点 $B$ の座標は $(-1, -8)$。

* $\triangle AOB$ の面積は、点 $A(4, 2)$ と点 $B(-1, -8)$ と原点 $O(0, 0)$ なので、$\frac{1}{2} |4(-8) - (-1)2| = \frac{1}{2} |-32 + 2| = \frac{1}{2} |-30| = 15$。

(6) (1)

* 6 秒後の $BP$ の長さは $1 \text{ cm/s} \times 6 \text{ s} = 6 \text{ cm}$。

* $\triangle BPD$ の面積は $\frac{1}{2} \times BP \times AB = \frac{1}{2} \times 6 \text{ cm} \times 12 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$。

* $x$ 秒後の $BP$ の長さは $x \text{ cm}$。

* $y = \frac{1}{2} \times x \times 12 = 6x$。

* $P$ は $BC$ 上を動くので、$0 \le x \le 16$。

* $\triangle BPD$ の面積が $92 \text{ cm}^2$ となるとき、$92 = 6x$。よって、$x = \frac{92}{6} = \frac{46}{3}$。

(6) (2)

* 距離 = 速さ × 時間 より、$2100 = x \times y$。よって、$y = \frac{2100}{x}$。

* 30 分間で 2100 m 歩いたときの速さは、$\frac{2100 \text{ m}}{30 \text{ min}} = 70 \text{ m/min}$。

* 時速は $70 \text{ m/min} \times 60 \text{ min/hour} = 4200 \text{ m/hour} = 4.2 \text{ km/hour}$。

3. 最終的な答え

(4) (1)

* $y = -9x$

* $-54 \le y \le 27$

(4) (2)

* $y = \frac{72}{x}$

* $y = -12$

(5)

* 15 cm$^2$

(6) (1)

* 36 cm$^2$

* $y = 6x$, $0 \le x \le 16$

* $\frac{46}{3}$ 秒後

(6) (2)

* $y = \frac{2100}{x}$

* 分速 70 m、時速 4.2 km