(5) 関数 $y = \frac{a}{x}$ において、$x$ の値が2から10まで増加したときの変化の割合が3となるとき、$a$ の値を求める。 (6) 一次関数 $y = -3x + a$ について、$x$ の変域が $-2 \leq x \leq b$ のときの $y$ の変域は $-16 \leq y \leq 8$ である。$a, b$ の値を求める。 (7) 次の表をもとにして $y$ を $x$ の式で表す。 | x | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | |---|----|----|----|---|---|---| | y | 8 | 4 | 0 | -4 | -8 | -12|

1. 問題の内容

(5) 関数 $y = \frac{a}{x}$ において、$x$ の値が2から10まで増加したときの変化の割合が3となるとき、$a$ の値を求める。

(6) 一次関数 $y = -3x + a$ について、$x$ の変域が $-2 \leq x \leq b$ のときの $y$ の変域は $-16 \leq y \leq 8$ である。$a, b$ の値を求める。

(7) 次の表をもとにして $y$ を $x$ の式で表す。

| x | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 |

|---|----|----|----|---|---|---|

| y | 8 | 4 | 0 | -4 | -8 | -12|

2. 解き方の手順

(5)

変化の割合は、$\frac{yの変化量}{xの変化量}$ で表される。

$x$ が2から10まで増加するとき、$y$ は $\frac{a}{10}$ から $\frac{a}{2}$ に変化する。

したがって、変化の割合は $\frac{\frac{a}{10} - \frac{a}{2}}{10 - 2} = 3$ となる。

$\frac{\frac{a}{10} - \frac{5a}{10}}{8} = 3$

$\frac{-\frac{4a}{10}}{8} = 3$

$-\frac{2a}{5} = 24$

$a = -60$

(6)

一次関数 $y = -3x + a$ は、$x$ が増加すると $y$ は減少する関数である。

したがって、$x = -2$ のときに $y$ は最大値 8 をとり、$x = b$ のときに $y$ は最小値 -16 をとる。

$x = -2$ のとき $y = 8$ なので、

$8 = -3(-2) + a$

$8 = 6 + a$

$a = 2$

$x = b$ のとき $y = -16$ なので、

$-16 = -3b + 2$

$-18 = -3b$

$b = 6$

(7)

表から、$x$ が2増加すると $y$ は4減少していることがわかる。したがって、$y$ は $x$ の一次関数であると推測できる。

$y = ax + b$ とおく。傾き $a$ は、$\frac{yの変化量}{xの変化量}$ で求められるから、 $a = \frac{-4}{2} = -2$ である。

したがって、$y = -2x + b$ となる。

$x = -1$ のとき $y = 0$ なので、

$0 = -2(-1) + b$

$0 = 2 + b$

$b = -2$

したがって、$y = -2x - 2$

3. 最終的な答え

(5) $a = -60$

(6) $a = 2$, $b = 6$

(7) $y = -2x - 2$