与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式を計算する。

$|A| = 1 \cdot (a \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 0) + 0 \cdot (1 \cdot 1 - a \cdot 0) = -1$

行列式が $-1$ であり $0$ でないので、逆行列が存在する。

次に、余因子行列を求める。

余因子行列の各要素は、元の行列の対応する要素の余因子である。

余因子 $C_{ij}$ は $(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ で計算される。ここで、$M_{ij}$ は元の行列から i 行と j 列を取り除いた行列の行列式（小行列式）である。

$C_{11} = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$

$C_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$

$C_{21} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{vmatrix} = 1$

$C_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a-1$

したがって、余因子行列は次のようになる。

$C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a-1 \end{pmatrix}$

次に、余因子行列の転置行列（随伴行列）を求める。

$adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a-1 \end{pmatrix}$

最後に、逆行列を求める。逆行列は、随伴行列を行列式で割ったものである。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1-a \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1-a \end{pmatrix}$