$0 \le x \le 1$、$0 \le y \le 1$ の範囲で、$f(x,y) = x^2 + xy + x - y + 4$ という関数を考える。 (1) $f(x,y)$ を $y$ について整理して、$f(x,y) = ay + b$ と表すときの $a$ と $b$ を求める。選択肢から選ぶ。 (2) $f(x,y)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 1$、$0 \le y \le 1$ の範囲で、$f(x,y) = x^2 + xy + x - y + 4$ という関数を考える。

(1) $f(x,y)$ を $y$ について整理して、$f(x,y) = ay + b$ と表すときの $a$ と $b$ を求める。選択肢から選ぶ。

(2) $f(x,y)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y) = x^2 + xy + x - y + 4$ を $y$ について整理すると、

$f(x,y) = (x - 1)y + (x^2 + x + 4)$ となる。

したがって、$a = x - 1$、$b = x^2 + x + 4$ である。

選択肢の中から $a$ と $b$ に該当するものを探すと、 $a = x - 1$ は選択肢②、$b = x^2 + x + 4$ は選択肢③である。よって、 $1$ は ②、$2$ は ③となる。

(2) $f(x,y) = (x-1)y + (x^2 + x + 4)$ であり、$0 \le y \le 1$ である。

$x - 1 \le 0$ なので、$y$ が最小値 $0$ のときに $f(x,y)$ は最大になり、$y$ が最大値 $1$ のときに $f(x,y)$ は最小になる。

$y = 0$ のとき、$f(x,0) = x^2 + x + 4 = g(x)$ とする。

$g(x) = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$

$0 \le x \le 1$ であり、$g(x)$ は $x = 1$ で最大値をとる。

$g(1) = 1^2 + 1 + 4 = 6$

$y = 1$ のとき、$f(x,1) = (x - 1) + (x^2 + x + 4) = x^2 + 5 = h(x)$ とする。

$0 \le x \le 1$ であり、$h(x)$ は $x = 0$ で最小値をとる。

$h(0) = 0^2 + 5 = 5$

よって、最大値は $6$、最小値は $5$ である。

3. 最終的な答え

1: ②

2: ③

3: 6

4: 5