数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの場合について、$a_n$ を求めます。 (1) $S_n = 2^n + 1$ (2) $S_n = n^3$ (3) $S_n = 1 - (-2)^n$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの場合について、$a_n$ を求めます。

(1) $S_n = 2^n + 1$

(2) $S_n = n^3$

(3) $S_n = 1 - (-2)^n$

2. 解き方の手順

一般項 $a_n$ は、和 $S_n$ を用いて以下のように求められます。

* $n=1$ のとき、$a_1 = S_1$

* $n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$

(1) $S_n = 2^n + 1$ の場合:

* $n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 2^1 + 1 = 3$

* $n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = (2^n + 1) - (2^{n-1} + 1) = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2-1) = 2^{n-1}$

したがって、$a_1=3$ で、$n\geq 2$ のとき、$a_n = 2^{n-1}$ となります。選択肢から⑤が該当します。

(2) $S_n = n^3$ の場合:

* $n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^3 = 1$

* $n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 - (n-1)^3 = n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) = 3n^2 - 3n + 1$

$n=1$ のとき、$3(1)^2 - 3(1) + 1 = 1$ であるから、

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ となります。選択肢から⑤が該当します。

(3) $S_n = 1 - (-2)^n$ の場合:

* $n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1 - (-2)^1 = 1 - (-2) = 3$

* $n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = [1 - (-2)^n] - [1 - (-2)^{n-1}] = -(-2)^n + (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1} - (-2)^n = (-2)^{n-1} (1 - (-2)) = 3(-2)^{n-1}$

したがって、$a_n = 3(-2)^{n-1}$ となります。選択肢から①が該当します。

3. 最終的な答え

(1) ⑤

(2) ⑤

(3) ①