整数を要素とする2つの集合 $A = \{1, a-4, a\}$ と $B = \{3, 14-a, a+1\}$ について、$A \cap B = \{3, 7\}$ となるように $a$ の値を定め、そのときの $A \cup B$ を求める。

1. 問題の内容

整数を要素とする2つの集合 $A = \{1, a-4, a\}$ と $B = \{3, 14-a, a+1\}$ について、$A \cap B = \{3, 7\}$ となるように $a$ の値を定め、そのときの $A \cup B$ を求める。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{3, 7\}$ であるから、3と7は集合Aにも集合Bにも含まれていなければならない。

まず集合Aについて考える。Aは{1, a-4, a}という要素を持っているので、次のいずれかが成り立つ。

(1) $a-4=3$

(2) $a=3$

(3) $a-4=7$

(4) $a=7$

それぞれの場合についてaの値を求めると、

(1) $a-4=3$ より $a=7$

(2) $a=3$

(3) $a-4=7$ より $a=11$

(4) $a=7$

となる。

次に集合Bについて考える。Bは{3, 14-a, a+1}という要素を持っているので、次のいずれかが成り立つ。

(1) $14-a=3$

(2) $a+1=3$

(3) $14-a=7$

(4) $a+1=7$

それぞれの場合についてaの値を求めると、

(1) $14-a=3$ より $a=11$

(2) $a+1=3$ より $a=2$

(3) $14-a=7$ より $a=7$

(4) $a+1=7$ より $a=6$

となる。

AとBの両方に3,7が含まれていなければならないので、a=7の場合を考える。

a=7のとき、集合Aは{1, 3, 7}となり、集合Bは{3, 7, 8}となる。$A \cap B = \{3, 7\}$を満たす。

また、a=11の場合を考える。集合Aは{1, 7, 11}となり、集合Bは{3, 3, 12}となり、$A \cap B = \{3, 7\}$を満たさない。

したがって、$a=7$

このとき、$A = \{1, 3, 7\}$、$B = \{3, 7, 8\}$ であるから、$A \cup B = \{1, 3, 7, 8\}$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 7$

$A \cup B = \{1, 3, 7, 8\}$