(1) 与えられた4x4行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の行列式 $det(A)$ を、置換を用いた定義式から求めます。 (2) 与えられた3x3行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -1 & 5 & 1 \\ 3 & -4 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式 $det(A)$ を、第3行で展開することによって求めます。

1. 問題の内容

(1) 与えられた4x4行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ の行列式 $det(A)$ を、置換を用いた定義式から求めます。

(2) 与えられた3x3行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -1 & 5 & 1 \\ 3 & -4 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式 $det(A)$ を、第3行で展開することによって求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $det(A)$ の置換による定義は次の通りです。

$det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}$

ここで、$S_n$は$n$次の置換全体の集合、$sgn(\sigma)$ は置換$\sigma$の符号を表します。

4x4行列の場合、すべての置換を考慮する必要がありますが、行列の多くの要素が0であるため、非ゼロの項だけを考慮すればよいです。

具体的には、$a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} a_{3, \sigma(3)} a_{4, \sigma(4)}$が非ゼロになる置換$\sigma$のみ考えます。

* $a_{1,2} = 3, a_{2,3} = 1, a_{3,1} = 5, a_{4,4} = 0$なので、$\sigma = (2,3,1,4)$はゼロになります。

* $a_{1,2} = 3, a_{2,3} = 1, a_{3,3} = 3, a_{4,2} = 2$ なので、$\sigma = (2,3,3,2)$もゼロになります。

* $a_{1,4} = 1, a_{2,3} = 1, a_{3,1} = 5, a_{4,2} = 2$ なので、$\sigma = (4,3,1,2)$を考えます。この置換の符号は、(4,3,1,2) -> (1,3,4,2) -> (1,2,4,3) -> (1,2,3,4) と3回の互換で単位置換になるので$sgn(\sigma) = (-1)^3 = -1$となります。

この場合、積は $1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 2 = 10$となり、$det(A) = -1 * 10 = -10$となります。

* $a_{1,4} = 1, a_{2,2} = 2, a_{3,1} = 5, a_{4,3} = 0$なので、$\sigma = (4,2,1,3)$はゼロになります。

* $a_{1,4} = 1, a_{2,2} = 2, a_{3,3} = 3, a_{4,2} = 2$なので、$\sigma = (4,2,3,2)$はゼロになります。

* $a_{1,2} = 3, a_{2,3} = 1, a_{3,1} = 5, a_{4,4} = 0$なので、$\sigma = (2,3,1,4)$はゼロになります。

2行目の2を選択すると、$\sigma = (4,2,1,3)$

したがって、行列式は $-10$です。

(2) 第3行で展開すると、

$det(A) = 3 \cdot C_{31} + (-4) \cdot C_{32} + 1 \cdot C_{33}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子を表します。

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 0 \cdot 5 = 3$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = -2$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = 2 \cdot 5 - 3 \cdot (-1) = 10 + 3 = 13$

よって、$det(A) = 3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2) + 1 \cdot 13 = 9 + 8 + 13 = 30$

3. 最終的な答え

(1) -10

(2) 30