与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の6つの数列の一般項を求めます。 (1) $a_1 = -3$, $a_{n+1} - a_n = 5$ (2) $a_1 = 9$, $3a_{n+1} = 2a_n$ (3) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 3a_n + 1$ (4) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = -2a_n + 2$ (5) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + n^3 - 2n^2$ (6) $a_1 = 4$, $a_{n+1} - a_n = 2^n$

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。具体的には、以下の6つの数列の一般項を求めます。

(1) $a_1 = -3$, $a_{n+1} - a_n = 5$

(2) $a_1 = 9$, $3a_{n+1} = 2a_n$

(3) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 3a_n + 1$

(4) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = -2a_n + 2$

(5) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + n^3 - 2n^2$

(6) $a_1 = 4$, $a_{n+1} - a_n = 2^n$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} - a_n = 5$ より、これは等差数列です。初項$a_1 = -3$、公差$d=5$なので、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = -3 + (n-1)5 = -3 + 5n - 5 = 5n - 8$

(2) $3a_{n+1} = 2a_n$ より、$a_{n+1} = \frac{2}{3} a_n$。これは等比数列です。初項$a_1 = 9$、公比$r = \frac{2}{3}$なので、一般項は

$a_n = a_1 r^{n-1} = 9 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} = 9 \cdot \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} = \frac{3^2 \cdot 2^{n-1}}{3^{n-1}} = 3^{3-n} 2^{n-1}$

(3) $a_{n+1} = 3a_n + 1$。特性方程式 $x = 3x + 1$を解くと、$-2x = 1$ より、$x = -\frac{1}{2}$。

よって、$a_{n+1} + \frac{1}{2} = 3 \left( a_n + \frac{1}{2} \right)$。

$b_n = a_n + \frac{1}{2}$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$。これは等比数列です。

$b_1 = a_1 + \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$。

よって、$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = \frac{7}{2} \cdot 3^{n-1}$。

したがって、$a_n = b_n - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \cdot 3^{n-1} - \frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 3^{n-1} - 1}{2}$

(4) $a_{n+1} = -2a_n + 2$。特性方程式 $x = -2x + 2$を解くと、$3x = 2$ より、$x = \frac{2}{3}$。

よって、$a_{n+1} - \frac{2}{3} = -2 \left( a_n - \frac{2}{3} \right)$。

$b_n = a_n - \frac{2}{3}$ とおくと、$b_{n+1} = -2b_n$。これは等比数列です。

$b_1 = a_1 - \frac{2}{3} = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$。

よって、$b_n = b_1 \cdot (-2)^{n-1} = \frac{10}{3} \cdot (-2)^{n-1}$。

したがって、$a_n = b_n + \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \cdot (-2)^{n-1} + \frac{2}{3} = \frac{10(-2)^{n-1} + 2}{3}$

(5) $a_{n+1} = a_n + n^3 - 2n^2$。

$a_{n+1} - a_n = n^3 - 2n^2$。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^3 - 2k^2) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k^3 - 2 \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$= 2 + \left( \frac{(n-1)n}{2} \right)^2 - 2 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = 2 + \frac{n^2(n-1)^2}{4} - \frac{n(n-1)(2n-1)}{3}$

$= 2 + \frac{3n^2(n^2-2n+1) - 4n(2n^2-3n+1)}{12} = 2 + \frac{3n^4 - 6n^3 + 3n^2 - 8n^3 + 12n^2 - 4n}{12}$

$= 2 + \frac{3n^4 - 14n^3 + 15n^2 - 4n}{12} = \frac{3n^4 - 14n^3 + 15n^2 - 4n + 24}{12}$

(6) $a_{n+1} - a_n = 2^n$。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 4 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 4 + 2^n - 2 = 2^n + 2$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5n - 8$

(2) $a_n = 3^{3-n} 2^{n-1}$

(3) $a_n = \frac{7 \cdot 3^{n-1} - 1}{2}$

(4) $a_n = \frac{10(-2)^{n-1} + 2}{3}$

(5) $a_n = \frac{3n^4 - 14n^3 + 15n^2 - 4n + 24}{12}$

(6) $a_n = 2^n + 2$