与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。いくつかの場合に分けて数列が定義されており、それぞれに対応する一般項を選択肢から選びます。今回は、(1), (2), (3), (4) のみを解きます。 (1) $a_1 = -3$, $a_{n+1} - a_n = 5$ (2) $a_1 = 9$, $3a_{n+1} = 2a_n$ (3) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 3a_n + 1$ (4) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = -2a_n + 2$

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。いくつかの場合に分けて数列が定義されており、それぞれに対応する一般項を選択肢から選びます。今回は、(1), (2), (3), (4) のみを解きます。

(1) $a_1 = -3$, $a_{n+1} - a_n = 5$

(2) $a_1 = 9$, $3a_{n+1} = 2a_n$

(3) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 3a_n + 1$

(4) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = -2a_n + 2$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = -3$, $a_{n+1} - a_n = 5$ の場合

$a_{n+1} - a_n = 5$ は、数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを意味します。初項は $a_1 = -3$、公差は $d = 5$ です。

したがって、一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d = -3 + (n-1)5 = -3 + 5n - 5 = 5n - 8$ となります。

(2) $a_1 = 9$, $3a_{n+1} = 2a_n$ の場合

$3a_{n+1} = 2a_n$ より、$a_{n+1} = \frac{2}{3} a_n$ となり、数列 $\{a_n\}$ は等比数列です。初項は $a_1 = 9$、公比は $r = \frac{2}{3}$ です。

したがって、一般項は $a_n = a_1 r^{n-1} = 9 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$ となります。

(3) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 3a_n + 1$ の場合

$a_{n+1} = 3a_n + 1$を変形します。特性方程式 $x = 3x + 1$ を解くと、$x = -\frac{1}{2}$ です。

$a_{n+1} + \frac{1}{2} = 3 \left( a_n + \frac{1}{2} \right)$ と変形できます。

したがって、数列 $\{a_n + \frac{1}{2}\}$ は、初項 $a_1 + \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$、公比 $3$ の等比数列です。

$a_n + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \cdot 3^{n-1}$ より、$a_n = \frac{7}{2} \cdot 3^{n-1} - \frac{1}{2}$ となります。

$a_n = \frac{7}{2} \cdot 3^{n-1} - \frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 3^{n-1} - 1}{2}$

(4) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = -2a_n + 2$ の場合

$a_{n+1} = -2a_n + 2$を変形します。特性方程式 $x = -2x + 2$ を解くと、$3x = 2$ より $x = \frac{2}{3}$ です。

$a_{n+1} - \frac{2}{3} = -2 \left( a_n - \frac{2}{3} \right)$ と変形できます。

したがって、数列 $\{a_n - \frac{2}{3}\}$ は、初項 $a_1 - \frac{2}{3} = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$、公比 $-2$ の等比数列です。

$a_n - \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \cdot (-2)^{n-1}$ より、$a_n = \frac{10}{3} \cdot (-2)^{n-1} + \frac{2}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5n - 8$

(2) $a_n = 9 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$

(3) $a_n = \frac{7}{2} \cdot 3^{n-1} - \frac{1}{2}$

(4) $a_n = \frac{10}{3} \cdot (-2)^{n-1} + \frac{2}{3}$