以下の2つの式を因数分解する問題です。 (1) $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ (2) $(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc$

1. 問題の内容

以下の2つの式を因数分解する問題です。

(1) $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$

(2) $(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc$

2. 解き方の手順

(1) 式を展開して整理し、因数分解します。

まず、各項を展開します。

$a(b^2 - 2bc + c^2) + b(c^2 - 2ac + a^2) + c(a^2 - 2ab + b^2) + 8abc$

$= ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 + ca^2 - 2abc + cb^2 + 8abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

次に、因数分解しやすいように並び替えます。

$= a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$

ここで、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開すると、$a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$　となることを利用します。

したがって、与えられた式は$(a+b)(b+c)(c+a)$と因数分解できます。

(2) 式を展開して整理し、因数分解します。

まず、展開します。

$(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc = a(ab-bc-ca) + b(ab-bc-ca) -c(ab-bc-ca) + abc$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a + abc$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c + bc^2 + c^2a$

$= a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - b^2c - a^2c - 2abc$

ここで因数定理を利用して因数分解します。a=bとすると、

$a^3 + a^3 + a^3 + a^3 - a^3 - a^3 = 0$より、(a-b)を因数に持ちます。

同様に、b=c, c=aのときも0になるので、(b-c), (c-a)も因数に持ちます。

つまり、$k(a-b)(b-c)(c-a)$と表せるはずです。

展開すると、$k(a^2b + b^2c + c^2a - a^2c - b^2a - c^2b)$

$k=-1$とすると、$-1(a^2b + b^2c + c^2a - a^2c - b^2a - c^2b)= -a^2b - b^2c - c^2a + a^2c + b^2a + c^2b$

なので、元の式は$a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - b^2c - a^2c - abc$でした。

したがって、$(a-b)(b-c)(c-a)$

最終的に、求める因数分解の結果は、$-(a-b)(b-c)(c-a)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

または、

(2) $(a-b)(c-b)(a-c)$