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$(\sqrt{2}+3\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})$ を計算せよ。

代数学式の展開平方根の計算計算
2025/8/3

1. 問題の内容

(2+35)(2−5)(\sqrt{2}+3\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5}) を計算せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開します。
(2+35)(2−5)=2⋅2+35⋅2−2⋅5−35⋅5(\sqrt{2}+3\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} - 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}
2⋅2=2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2
35⋅2=3103\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{10}
2⋅5=10\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10}
35⋅5=3⋅5=153\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot 5 = 15
したがって、
(2+35)(2−5)=2+310−10−15(\sqrt{2}+3\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5}) = 2 + 3\sqrt{10} - \sqrt{10} - 15
2+310−10−15=2−15+310−10=−13+2102 + 3\sqrt{10} - \sqrt{10} - 15 = 2 - 15 + 3\sqrt{10} - \sqrt{10} = -13 + 2\sqrt{10}

3. 最終的な答え

−13+210-13 + 2\sqrt{10}

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