画像には複数の数学の問題があります。具体的には、2次方程式の解の個数、放物線と直線の交点、2次関数のグラフの平行移動、2次関数のx軸との交点、3点を通る放物線の方程式、そして命題の真偽を判定する問題が含まれています。

1. 問題の内容

画像には複数の数学の問題があります。具体的には、2次方程式の解の個数、放物線と直線の交点、2次関数のグラフの平行移動、2次関数のx軸との交点、3点を通る放物線の方程式、そして命題の真偽を判定する問題が含まれています。

2. 解き方の手順

各問題に対する解き方を以下に示します。

(1) 2次方程式 $x^2 - ax + 3a - 5 = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ です。

$D = (-a)^2 - 4(1)(3a - 5) = a^2 - 12a + 20 = 0$

$(a - 2)(a - 10) = 0$

$a = 2, 10$

(2) 2次関数 $y = x^2 - 2x + m - 1$ のグラフがx軸と共有点を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ です。

$D = (-2)^2 - 4(1)(m - 1) = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m \ge 0$

$4m \le 8$

$m \le 2$

(3) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = -x + 6$ の共有点の座標を求めるには、連立方程式を解きます。

$x^2 = -x + 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$

$x = -3, 2$

$x = -3$ のとき $y = (-3)^2 = 9$

$x = 2$ のとき $y = (2)^2 = 4$

共有点の座標は $(-3, 9), (2, 4)$

(4) 2次方程式の実数解の個数を求めます。

i) $9x^2 + 12x + 4 = 0$

$D = 12^2 - 4(9)(4) = 144 - 144 = 0$

解の個数は1個

ii) $6x^2 - 7x + 3 = 0$

$D = (-7)^2 - 4(6)(3) = 49 - 72 = -23 < 0$

解の個数は0個

(5) $y = x^2 - 2ax + 1$ のグラフをx軸方向に-2、y軸方向に3だけ平行移動した放物線の方程式は次のようになります。

$y - 3 = (x + 2)^2 - 2a(x + 2) + 1$

$y = x^2 + 4x + 4 - 2ax - 4a + 1 + 3$

$y = x^2 + (4 - 2a)x + 8 - 4a$

この放物線が原点を通る ($x = 0, y = 0$) ので、

$0 = 0^2 + (4 - 2a)(0) + 8 - 4a$

$0 = 8 - 4a$

$4a = 8$

$a = 2$

(6) 2次関数 $y = -3x^2 + x + 1$ とx軸の共有点の座標を求めるには、$y = 0$ としてxを求めます。

$-3x^2 + x + 1 = 0$

$3x^2 - x - 1 = 0$

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

共有点の座標は $(\frac{1 - \sqrt{13}}{6}, 0), (\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, 0)$

(7) 3点 $(-1, 0), (3, 0), (0, 6)$ を通る放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とします。

$0 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$

$0 = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c$

$6 = a(0)^2 + b(0) + c = c$

$c = 6$

$a - b + 6 = 0 \Rightarrow a - b = -6$

$9a + 3b + 6 = 0 \Rightarrow 9a + 3b = -6 \Rightarrow 3a + b = -2$

$4a = -8 \Rightarrow a = -2$

$-2 - b = -6 \Rightarrow b = 4$

したがって $y = -2x^2 + 4x + 6$

(62) 命題の真偽

(1) $ab = 0$ ならば $a^2 + b^2 = 0$ である。 偽 (例：a=0, b=1)

(2) $ab$ が有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。 偽 (例：$a=\sqrt{2}$, $b=\sqrt{2}$)

(3) $a+b, ab$ がともに有理数ならば、$a, b$ はともに有理数である。 偽

3. 最終的な答え

(1) a = 2, 10

(2) $m \le 2$

(3) (-3, 9), (2, 4)

(4) i) 1個 ii) 0個

(5) a = 2

(6) $(\frac{1 - \sqrt{13}}{6}, 0), (\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, 0)$

(7) $y = -2x^2 + 4x + 6$

(62) (1) 偽 (2) 偽 (3) 偽